北师大版初一数学(下)讲义--三角形(部分题目参考答案)
25页1、初一数学(下册)讲义-三角形部分题目参考答案三、三垂直模型(弦图模型)【例1】已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,D为AC中点,AFBD于E,交BC于F,连接DF.求证:ADB=CDF. 方法一: 过点C作MCAC交AF的延长线于点M.先证ABDCAM, 再证 CDF CMF即可.方法二:过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证ABHCAF, 再证 CDF ADH即可.方法三:过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证RtAMF RtBMH,得出 HFAC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点,可得MD为ABC的中位线 从而推出MDAB,又由于,故而MDAC,MDHF,所以MD为 线段HF的中垂线. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ,则 ADB=CDF .【例1拓展(1)】已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,AM=CN,AFBM于E,交BC于F,连接NF.求证:ADB=CDF. BM=AF+FN 提示:同【例1】方法1、2类似【拓展(2)】其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P,求证:PM=PN, PBPF+AF.提示:同【例1】方法1、2类似【例2】
2、如图,已知ADBC,ABE和CDF 是等腰直角三角形,EAB=CDF=,AD=2,BC=5,求四边形AEDF的面积. 解析:如图,过点E、B分别作ENDA,BMDA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作 FPAD,CQAD交AD及AD延长线于点 P、Q. ABE和CDF 是等腰直角三角形,EAB=CDF=,AE=AB, DF=CD.ENDA,BMDA,FPAD,CQAD ,NMB=ENA=FPD=DQC=. ENA=MBA ,FDP=QCD. ENAABM,FPDDQC.NE=AM, PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC,CQBM,BMN=, 四边形BMQC是矩形. BC=MQAD=2,BC=5 NE+PF=5-2=3 【练习巩固】(1)如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=,是AD的垂直平分线, 交AD于点M,以腰AB为边做正方形ABFE,EP于点P. 求证:2EP+AD=2CD. (2)如图,在直角梯形ABCD中,ABC=,ADBC,AB=AC,E是AB的中点, CEBD. 求证:BE=AD ; 求证:AC是线段ED的垂直平分线; BCD是等腰三
3、角形吗?请说明理由. 【能力提升3:全等三角形压轴题分类解析】一、 双等边三角形模型1、(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC求AEB的大小;(2)如图8,OAB固定不动,保持OCD的形状和大小不变,将OCD绕着点O旋转(OAB和OCD不能重叠),求AEB的大小.2、已知:点C为线段AB上一点,ACM,CBN都是等边三角形,且AN、BM相交于O. 求证:AN=BM 求 AOB的度数。 若AN、MC相交于点P,BM、NC交于点Q, 求证:PQAB。 (1)ACM,CBN是等边三角形AC=MC,CB=CN,MCA=NCB=60度ACB=MCN+MCA, MCB=NCB+MCA又MCA=MCAACB=MCBMCB全等于ACNAN=BM(2) MCB全等于ACNCBM=CNANOB是AOB的外角NOB=NCB+OBA=NCB+CNA=NCB=60度AOB=180-NOB=120度BON=60第三问超范围。同类变式: 如图a,ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连
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