北师大版初一数学(下)讲义--三角形(部分题目参考答案)

初一数学（下册）讲义-三角形部分题目参考答案三、三垂直模型（弦图模型）【例1】已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AC中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF.求证：ADB=CDF. 方法一: 过点C作MCAC交AF的延长线于点M.先证ABDCAM， 再证 CDF CMF即可.方法二：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证ABHCAF， 再证 CDF ADH即可.方法三：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为ABC的中位线 从而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD为 线段HF的中垂线. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，则 ADB=CDF .【例1拓展（1）】已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，连接NF.求证：ADB=CDF. BM=AF+FN 提示：同【例1】方法1、2类似【拓展（2）】其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：PM=PN, PBPF+AF.提示：同【例1】方法1、2类似【例2】如图，已知ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积. 解析：如图，过点E、B分别作ENDA，BMDA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作 FPAD，CQAD交AD及AD延长线于点 P、Q. ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AE=AB， DF=CD.ENDA，BMDA，FPAD，CQAD ，NMB=ENA=FPD=DQC=. ENA=MBA ，FDP=QCD. ENAABM，FPDDQC.NE=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC，CQBM，BMN=， 四边形BMQC是矩形. BC=MQAD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 【练习巩固】（1）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=，是AD的垂直平分线， 交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP于点P. 求证：2EP+AD=2CD. （2）如图，在直角梯形ABCD中，ABC=，ADBC，AB=AC，E是AB的中点， CEBD. 求证：BE=AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； BCD是等腰三角形吗？请说明理由. 【能力提升3：全等三角形压轴题分类解析】一、 双等边三角形模型1、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.2、已知:点C为线段AB上一点，ACM,CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O. 求证：AN=BM 求 AOB的度数。 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q， 求证：PQAB。 (1)ACM，CBN是等边三角形AC=MC,CB=CN,MCA=NCB=60度ACB=MCN+MCA, MCB=NCB+MCA又MCA=MCAACB=MCBMCB全等于ACNAN=BM(2) MCB全等于ACNCBM=CNANOB是AOB的外角NOB=NCB+OBA=NCB+CNA=NCB=60度AOB=180-NOB=120度BON=60第三问超范围。同类变式： 如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3、如图9，若和为等边三角形，分别为的中点，易证：，是等边三角形 （1）当把绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当绕点旋转到图11的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由 【本题（2）问超范围，了解即可同类变式：已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图 形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4、如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE ；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE 180），设ABE的面积为，ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明5、已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接（1）求证：；（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你 的结论二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1、如图，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的长 2、（西安中考）如图(1), 已知ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BDAE于D, CEAE于E 。 (1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理由。(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。3、直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明考点2：利用角相等证明垂直2、如图，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.（1）问答案略拓展巩固：如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你 认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4、如图1，的边BC在直线上，且的边也在直线 上，边与边重合，且（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2） 将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q,连结,你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用2、两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结试判断的形状，并说明理由压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明3、已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE与BC的大小关系如何。考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F. 如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH F