2022高中数学第二章平面向量2.2向量的减法学案北师大版必修4.doc

2022高中数学第二章平面向量2.2向量的减法学案北师大版必修4 内容要求　1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量(难点)．知识点1　相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝.(×)(2)a－a＝0.(√)(3)零向量的相反向量仍是零向量．(√)知识点2　向量的减法(1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．【预习评价】1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－b答案　A2.可以写成①＋；②－；③－；④－.其中正确的是(　　)A．①② B．②③C．③④ D．①④答案　D题型一　向量减法法则的应用【例1】　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则a－b＝，c－d＝.规律方法　利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.【训练1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.题型二　向量减法的运算【例2】　化简下列式子：(1)－－－；(2)(－)－(－)．解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.规律方法　化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．特别提醒　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．【训练2】　化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－)．解　(1)(－)－(－)＝－＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.方向1　用已知向量表示未知向量【例3－1】　已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.解　方法一　如图所示：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b.方法二　＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＝＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.方向2　求向量的模【例3－2】　已知非零向量a、b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．解　设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.∵(＋1)2＋(－1)2＝42，∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.∴平行四边形OACB是矩形．∵矩形的对角线相等，∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.方向3　判断形状【例3－3】　设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．解　由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即－＝－，∴＝，于是AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．规律方法　1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.课堂达标1．化简－＋＋的结果等于(　　)A. B. C. D.答案　B2．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)A．a＋b和a－b B．a＋b和b－aC．a－b和b－a D．b－a和b＋a解析　由向量的加法、减法得，＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.答案　B3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.解析　＝＝＝＝2.答案　24．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，∴|a－b|＝||＝13.答案　135．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.解　＝＋＝＋＋＝＋－＝c＋b－a.课堂小结1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a.基础过关1．在平行四边形ABCD中，－等于(　　)A. B. C. D.解析　－＝＝.答案　A2．下列等式中，正确的个数为(　　)①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3 B．4C．5 D．6解析　根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.答案　C3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)A.－＝0 B.－＝C.－＝ D.＋＝0解析　∵＝，∴－＝0，A正确；∵－＝＋＝，B正确；∵－＝＋＝，C错误；∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．答案　C4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．解析　＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.答案　2－5．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．解析　当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为12－8＝4；这时|a－b|取得最大值，其值为12＋8＝20.答案　4　206．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．解　设＝a，＝b，则a－b＝，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴||＝||＝||，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.7.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解　(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.(2)作＝，连接CF，则＋＝，而＝－＝a－b.所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.能力提升8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)A.＋＋＝0B.－＋＝0C.＋－＝0D.－－＝0解析　＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.答案　A9．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　)A.＝0 B.＝0或＝0C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形解析　＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，∴ABCD是矩形．答案　C10．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|－|＝.答案　11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．解　在平面内任取一点A，作＝a，＝b，利用平行四边形法则，得＝a＋b，＝a－b.由题意知：||＝||＝2，||＝1.如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.在△ABE中，cos∠EAB＝＝，在△CBF中，∠CBF＝∠DAB，∴cos∠CBF＝，BF＝BC·cos∠CBF＝1×＝，∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝.在Rt△AFC中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.12．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．13．(选做题)如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.证明　作圆的直径BD，连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.∴CH∥AD，AH∥CD，则四边形AHCD为平行四边形．∴＝＝－＝＋，∴＝＋＝＋＋.。