2024—2025学年福建省福州市精师优质高中联盟高二上学期入学质量检测数学试卷.doc

2024—2025学年福建省福州市精师优质高中联盟高二上学期入学质量检测数学试卷一、单选题(★) 1. 已知 ， ，且 ，则 （ ） A．1B．2C．3D．4 (★) 2. 若点 关于 xOy的对称点为 A，关于 z轴的对称点为 B，则 A、 B两点的对称是（ ）． A．关于xOz平面对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于坐标原点对称 (★) 3. 若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A．，，B．，，C．，，D．，， (★) 4. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ） A．B．C．D． (★★★) 5. 平行六面体 中 .则 =（ ） A．B．C．D． (★★★) 6. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ） A．B．C．D． (★★★) 7. 如图，三棱柱 中， 分别为 中点，过 作三棱柱的截面交 于 ，且 ，则 的值为（ ） A．B．C．D．1 (★★★★★) 8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体 的上底面 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体 ．已知 ， ， ，过直线 作平面 ，则十面体 外接球被平面 所截的截面圆面积的最小值是（ ） A．B．C．D． 二、多选题(★★) 9. 平面 α经过三点 ， ， ，向量 是平面 α的法向量，则下列四个选项中正确的是（ ） A．直线AB的一个方向向量为B．线段AB的长度为3C．平面α的法向量中D．向量与向量夹角的余弦值为 (★★★) 10. 如图，点 在正方体 的面对角线 上运动（ 点异于 ， 点），则下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成角为B．平面C．三棱锥的体积不变D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 (★★★★★) 11. 在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，以 为原点， OB， OD， OO 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点 ，满足 ，则（ ） A．点的轨迹长为B．的最小值为C．D．三棱锥体积的最小值为 三、填空题(★★) 12. 已知 ，则 ______ ． (★★★) 13. 如图所示，在长方体 中 ， ， ， 与平面 交于点 ，则点 到直线 的距离为 ______ ． (★★★★) 14. 在侧棱长为 的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，点 M为平面 内的动点，且满足 ，记直线 与直线 的所成角的余弦值的取值范围为 _____________ ． 四、解答题(★) 15. 如图，四面体 中， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ，设 ， ， . (1)以 为基底表示 ； (2)若 ，且 ， ， ，求 . (★★) 16. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ． (1)证明：平面 平面 ． (2)求二面角 的余弦值． (★★★) 17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 为等边三角形，平面 平面 ， ．点 段 上． (1)若 ，在 上找一点 ，使得 四点共面，并说明理由； (2)求点 到平面 的距离； (3)若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． (★★★★) 18. 如图1，直角梯形 中， ， ， ， ，以 为轴将梯形 旋转 后得到几何体 W，如图2，其中 ， 分别为上下底面直径，点 P， Q分别在圆弧 ， 上，直线 平面 . (1)证明：平面 平面 ； (2)若直线 与平面 所成角的正切值等于 ，求 P到平面 的距离； (3)若平面 与平面 夹角的余弦值 ，求 ． (★★★) 19. 2024年8月7日，神舟十六号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.我校小林同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加新学期入学质量检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆 与圆柱 底面相切于 四点，且圆 与 与 与 与 分别外切，线段 为圆柱 的母线.点 为线段 中点，点 段 上，且 . 已知圆柱 ，底面半径为 . (1)求证： 平面 ； (2)线段 上是否存在一点 ，使得 平面 若存在，请求出 的长，若不存在，请说明理由； (3)求二面角 的余弦值； 。