重难点突破:与圆有关的最值问题题型汇编--2.25
21页1、重难点突破:与圆有关的最值问题角度1:与截距有关的圆的最值问题形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题角度2:与斜率有关的圆的最值问题形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题角度3:与距离有关的圆的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题常见的结论有:(1)圆外一点到圆上距离最近为,最远为(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦(3)直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线距离,最近为(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积(5)直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离(6)两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间最短距离为两条平行线间距离角度4:与面积相关的最值问题来源:Zxxk.Com与圆有关的最值问题,因与平面几何性质联系密切,且与圆锥曲线相结合的命题趋势,使与圆相关的最值问题成为命题宠儿与圆的面积的最值问题,一般转化为
2、寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解题型一 与斜率有关的圆的最值问题例题1: 如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围是 【解析】函数恒过定点将点代入直线可得,即由点在圆内部或圆上可得即或所以点在以和为端点的线段上运动表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率所以,所以变式1: 过点的直线与圆:交于两点,为圆心,当最小时,直线的方程是 【解析】要使最小,由余弦定理可知,需弦长最短要使得弦长最短,借助结论可知当为弦的中点时最短因圆心和所在直线的,则所求的直线斜率为,由点斜式可得【点评】此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题变式2: 已知实数x、y满足x2+y2=4,则的最小值为 ( )A B C D变式3: 在平面直角坐标系中,圆,圆若圆上存在一点,使得过点可作一条射线与圆依次交于点,满足,则半径的取值范围是_【解析】由题,知圆的圆心为,半径为5,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,如图,可知当为圆的直径时取得最大值,所以当点位
3、于点所在位置时取得最小值,当点位于点所在位置时取得最大值因为,所以,学科!网题型二 与截距有关的圆的最值问题例题2: 设为不等式表示的平面区域,直线与区域有公共点,则的取值范围是_【解析】由题设到直线的距离,解之得变式4: 若直线与曲线恰有三个公共点,则实数的取值范围是( )A B C D【解析】直线与曲线恰有三个公共点,实数的取值范围,可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围,作出两个函数的图象,通过图象观察临界直线,从而求出的取值范围;本题曲线的图象是易错点,画图时要分类讨论,知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成选A变式5: 已知圆C的圆心在轴的正半轴上,且轴和直线均与圆C相切(1)求圆C的标准方程;(2)设点,若直线与圆C相交于M,N两点,且为锐角,求实数m的取值范围【解析】(1)设圆C的标准方程为:由题意得,解得,圆C 的标准方程为:(2)由消去y整理得直线与圆C相交于M,N两点,解得, 设,则依题意得,整理得,解得或又,或故实数m的取值范围是【点评】(1)对于为锐角的问题(或点A在以BC为直径的圆外,或),都可转化为,然后坐标化,转化为代数运算处理学科
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