三角形的五心与向量 应有尽有
13页1、三角形的五心与向量(一)三角形的内心例题1 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足:,则的轨迹一定通过的( )A内心B垂心C重心D外心【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与的角平分线一致又,向量的方向与的角平分线一致一定通过的内心选练习1. 已知满足,则为( )A顶角为的等腰三角形B等腰直角三角形C有一个内角为的直角三角形D等边三角形【解析】设,则,而,所以是的角平分线,又,所以为等腰三角形,所以是等边三角形.练习2.O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个点,动点P满足则P点的轨迹一定通过三角形ABC的( )A内心 B外心 C重心 D垂心【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与BAC的角平分线重合又可得到 ()向量的方向与BAC的角平分线重合,一定通过ABC的内心,选A(二)三角形的重心例题2 已知中,向量,则点的轨迹通过的( )A垂心B内心C外心D重心【解析】设为中点,则,即点在中线上可知点轨迹必过的重心,选练习1过的重心作直线,已知与、的交点分别为、,若,则实数的值为( )A或 B 或 C或 D或【解析】设,因为G为的重心,所以,即由于三点共
2、线,所以,即因为,所以即有,解之得或,选B练习2.已知O是ABC所在平面上的一点,若= , 则O点是ABC的( )A外心B内心C重心D垂心【解析】作BDOC,CDOB,连OD,OD与BC相交于G,则BGCG,(平行四边形对角线互相平分),又,可得:,A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线,同理:BO,CO的延长线也为ABC的中线O为三角形ABC的重心选C练习3.已知是所在平面上的一定点,若动点满足,则点的轨迹一定通过的( )A内心B外心C重心D垂心【解析】设它们等于t, 而表示与共线的向量,而点D是BC的中点,所以即P的轨迹一定通过三角形的重心,选C练习4.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定通过的_心【解析】设D为BC的中点,则,于是有,P,D三点共线,又D是BC的中点,所以AD是边BC的中线,于是点P的轨迹一定通过的重心例题3 是平面上不共线的三点,为所在平面内一点,是的中点,动点满足,则点的轨迹一定过_心(内心、外心、垂心或重心)【解析】动点P满足(22)(1+2)(R),且,P、C、D三点共线,又D是AB的中点,CD为中线
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