干货满满求函数值域的14种方法大盘点 详编细解(
40页1、求函数值域的14种方法大盘点题型1 观察法方法通过观察如,或等函数的定义域及性质,结合函数的解析式,应用不等式性质,可直接求得函数的值域。步骤第1步:观察函数中的特殊函数;第2步:利用这些特殊函数的有界性,结合不等式推导出函数的值域.例题1 函数 的最大值是()A. B. C. D. 【解析】第一步,观察函数中的特殊函数第二步,利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域: ,所以的最大值是,选D.变式1 函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【解析】,故,值域为,选D。【小结】算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。变式2 求函数的值域.【解析】2x0,082x802故函数的值域是题型2 单调性法方法单调性法是求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域步骤第1步:确定函数的定义域;第2步:求出函数的单调区间;第3步:确定函数的值域或最值.例题2 求函数的值域。【解析】,都是增函数,故是减函数,因此当时,又,。变式1 求函数的值域.【解析】第1步,将函数化成基本初等函数的形式:令,所以第2步,讨论函数的
2、单调性:因为;所以在上是减函数,在上是增函数;第3步,讨论函数的单调性:又因为在定义域上是减函数;所以在上是增函数,在上是减函数;第四步,根据单调性得出函数的最值,进而得出值域:所以,所以函数的值域为。【小结】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和最小值,得到函数的值域.变式2 求函数的值域【解析】第1步,将函数化成基本初等函数的形式:令,所以第2步,讨论函数的单调性:因为;所以在上是增函数,在上是减函数;第3步,讨论函数的单调性:又因为在定义域上是减函数;所以在上是减函数,在上是增函数;第四步,根据单调性得出函数的最值,进而得出值域:所以,所以函数的值域为。【小结】(1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单调性求函数的值域.(2)本题中利用了这样一个性质:增(减)函数+增(减)函数=增(减)函数.(3)本题都是增函数,利用到了复合函数的单调性.变式3 求函数的值域.【解析】由,解得,在此定义域内函数是单调递减,所以当时,函数取得最小值,所以函数的值域是变式4 函数f(x)=2+log3x(1x9),函数g(x)=f2(x)+f(x2),求g(x)
3、值域【解析】由已知函数f(x)的定义域为xx|1x9,则g(x)的定义域满足,所以1x3,所以g(x)的定义域为x|1x3;,g(x)在x1,3单调递增,则g(x)的最大值为g(x)max=g(3)=13,g(x)的最小值为g(x)min=g(1)=6故g(x)的值域为6,13变式5 已知,且满足,则函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【解析】,则原式与同解,解之得,又,将代入中,得且,函数在区间上连续且单调递增,故只需比较边界的大小,当时,;当时,函数的值域为,选A变式6 函数对于任意实数、都有,且当时,求函数在区间上的值域。【解析】设,当时,,,。为增函数令令为奇函数,在区间上的值域为-4,2【小结】抽象函数值域的求法。题型3 奇偶性法方法适用于一些解析式非常复杂,但是经过整理后有一定规律的函数,或是抽象函数;在求函数最值的问题中,可以利用奇偶性直接得出答案;步骤第1步:凑出奇或偶的代数式第2步:根据奇偶性性质解题例题3 若都是奇函数,在上有最大值5,则在上有( )A最小值B最大值C最小值D最大值【解析】、为奇函数,为奇函数又有最大值5,2在(0,)上有最大值32在上有最小值
4、3,在上有最小值1,选C变式1 设函数的最大值为,最小值为,则_.【解析】2变式2 设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.变式3 已知函数和均为奇函数, 在区间上有最大值5,那么在上的最小值为 ( )A. 5 B. 3 C. 1 D. 5【解析】令,所以为奇函数,时,又时,故选C.【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用,由于函数和 g(x)均为奇函数,则也为奇函数,构造函数,则为奇函数,借助在上的最大值得出的最大值,由于奇函数的图象关于原点对称,所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零,得出在上的最小值,进而得出在上的最小值.变式4 已知在区间上有最大值5,那么在上的最小值为 【解析】因为中为奇函数
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