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立体几何截面和交线问题（原卷版）

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常见问题

1、第9讲立体几何截面和交线问题一选择题（共13小题） 1在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则过，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为ABCD2已知圆，过点的直线中被圆截得的最短弦长为，类比上述方法：设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为ABCD3已知正方体的棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为ABCD4正方体棱长为4，分别是棱，的中点，则过，三点的平面截正方体所得截面的面积为ABCD5已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD6体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A，B，C，D，7圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则的取值范围是ABCD8如图，已知四面体为正四面体，分别是，中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为ABCD1

2、9设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面A不存在B只有1个C恰有4个D有无数多个10如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是ABCD11如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于ABCD12已知三棱锥的棱、两两垂直，且长度都为，以顶点为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于ABCD13已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是ABCD二多选题（共2小题）14如图，在正方体中，分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是A点，到平面的距离相等B与为异面直线CD平面截该正方体的截面为正六边形15如图，棱长为2的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有A存在点，使垂直于平面B对于任意点，平面C直线的被球截得的弦长为D过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最

3、小的圆的面积为三填空题（共17小题）16正方体的棱长为4，分别是和的中点，经过点，的平面把正方体截成两部分，则截面的周长为17如图正方体的棱长为2，为的中点，为线段的中点，过点，的平面截该正方体所得的截面的周长为 18已知正方体的棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为19已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为20正方体棱长为4，分别是棱，的中点，则过，三点的平面截正方体所得截面的面积为 21已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为 22球为正方体的内切球，分别为棱，的中点，则直线被球截得的线段长为 23如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，两点，设，则函数的图象大致是（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）24如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 25已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于26

4、已知正三棱锥侧棱长为1，且、两两垂直，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为27以棱长为2的正方体中心点为球心，以为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 28正方体棱长为2，以其体对角线的交点为球心，为半径的球与正方体表面的交线长为29已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为30如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与的交点满足当时，为四边形当时，的面积为31如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是32如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截正方体所得的截面为，当时，的面积为四解答题（共5小题）33如图，在正三棱锥中，平行于、的截面分别交、于点、（1）判定四边形的形状，并说明理由（2）设是棱上的点，当为何值时，平面平面，请给出证明34如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、分别是棱、的中点，为线段上一点，（）若平面交平面于直线，求证：；（）若直线平面求三棱锥的表面积；试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积35如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，于，（1）证明截面是矩形；（2）在的什么位置时，截面面积最大，说明理由36如图，已知三棱柱中，底面，分别为棱，的中点（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值37已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，为上一点，且平面（1）求证：；（2）过作一平面分别交，于，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积

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