重难点突破：与圆有关的最值问题题型汇编--2.25

重难点突破：与圆有关的最值问题角度1：与截距有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题角度2：与斜率有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题角度3：与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题常见的结论有：（1）圆外一点到圆上距离最近为，最远为（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线距离，最近为（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间最短距离为两条平行线间距离角度4：与面积相关的最值问题来源:Zxxk.Com与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解题型一 与斜率有关的圆的最值问题例题1： 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 【解析】函数恒过定点将点代入直线可得，即由点在圆内部或圆上可得即或所以点在以和为端点的线段上运动表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率所以，所以变式1： 过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 【解析】要使最小，由余弦定理可知，需弦长最短要使得弦长最短，借助结论可知当为弦的中点时最短因圆心和所在直线的，则所求的直线斜率为，由点斜式可得【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题变式2： 已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为 （ ）A B C D变式3： 在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径的取值范围是_【解析】由题，知圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，如图，可知当为圆的直径时取得最大值，所以当点位于点所在位置时取得最小值，当点位于点所在位置时取得最大值因为，所以，学科！网题型二 与截距有关的圆的最值问题例题2： 设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_【解析】由题设到直线的距离，解之得变式4： 若直线与曲线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【解析】直线与曲线恰有三个公共点，实数的取值范围，可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出的取值范围；本题曲线的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成选A变式5： 已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆C相切(1)求圆C的标准方程；(2)设点，若直线与圆C相交于M，N两点，且为锐角，求实数m的取值范围【解析】（1）设圆C的标准方程为：由题意得，解得，圆C 的标准方程为：（2）由消去y整理得直线与圆C相交于M，N两点，解得， 设，则依题意得，整理得，解得或又，或故实数m的取值范围是【点评】（1）对于为锐角的问题（或点A在以BC为直径的圆外，或），都可转化为，然后坐标化，转化为代数运算处理学科%网（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度题型三 与距离有关的圆的最值问题例题3： 在平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）A B C D变式6： 已知圆C：（a<0）的圆心在直线 上，且圆C上的点到直线的距离的最大值为，则的值为_【解析】圆的方程为 ，圆心为 ， 圆C上的点到直线的距离的最大值为 由得，a<0，故得 ， =3【点评】圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用变式7： 已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为_【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： ，解得： 或 (舍去)，当时， 的最大值变式8： 已知是圆上一点，且不在坐标轴上， ， ，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为_【解析】设点，则直线PA的方程： ，则 同理，则 的最小值为8变式9： 在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，且直线： 被椭圆截得的弦长为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与圆： 相切：（i）求圆的标准方程；（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围【解析】（）由已知得直线过定点， ， ，又， ，解得， ，故所求椭圆的标准方程为（）（i）由（）得直线的方程为，即，又圆的标准方程为，圆心为，圆的半径，圆的标准方程为（ii）直线斜率存在，设： ，与椭圆两个交点、，由消去得，由，得， ，又圆的圆心到直线： 的距离圆截直线所得弦长设， ，则的对称轴为，在上单调递增， ，【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题题型四 与面积相关的最值问题例题4： 动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积的最小值_【解析】设圆心为，半径为，即，即，圆心为，圆心到直线的距离为，或，当时，变式10： 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为_【解析】与圆相交所得弦的长为2，故弦心距，所以，与轴相交于点，与轴相交于点，变式11： 已知直线与圆M：相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为_【解析】，圆心M到直线距离为，BD为过圆心M且垂直于AC的直径时，四边形ABCD面积取最大值，为变式12： 已知P(2,0)为圆C：x2y22x2mym270(m>0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为_.【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径， ，当时取最大值4，此时为等腰直角三角形， ，则到距离等于2，即，即，解得，故答案为.变式13： 已知两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值【解析】（1）设两动圆的公共点为Q，则有由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，所以曲线的方程是：（2）证法一：由题意可知：，设，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把代入有：，因为，所以有，把代入整理：，（有公因式m1）继续化简得：，或（舍），综合斜率不存在的情况，直线恒过定点。题型五 与圆有关的最值问题综合题例题5： 已知实数x，y满足方程x2y24x10，求：（1）的最大值和最小值；（2）yx的最大值和最小值；（3）x2y2的最大值和最小值【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式14： 已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为_【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误变式15： 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是_【解析】设为圆上一点，由题意知，即，所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，横坐标为，所以，变式16： 已知圆： 和两点， ，若圆上存在点，使得，则的最小值为_【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：，即的最小值为1【点评】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围变式17： 若直线（， ）被圆截得的弦长为4，则的最小值为_【解析】由题意得 ，所以直线过圆心，即 ，因此【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误变式18： 若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_解析：过OAMN，垂足为A，在中，因为OMN=45，所以=，解得，因为点M（，1），所以解得，故的取值范围是变式19： 在平面直角坐标系中，圆：若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是_【解析】由于原C存在以G位中点的弦AB，且AB=2GO，故 ， 如图所示，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需即 ，连结CB，由 可得： 题型六 与圆最值问题常见的种转化方法方法1：圆上点到直线距离最值问题应转化为圆心到直线的最值距离例题6： 知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：上任一点，则的最小值为 .【解析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平