中学数学教学参考2000年第3期.pdf

对中学数学课程改革的思考江苏省六合县第一中学 刘 明目前，我国正在进行数学课程标准的研制工作( 详见文[ 1 ] ) ．数学课程改 革的方向如何，是每个数学教育工作者所关心的问题．笔者作为工作在教学 第一线的一名中学数学教师，对中学数学课程的现状与未来有以下一些思 考． 1 ．对平面几何的部分内容进行删减 数学教育要想适应时代进步的要求，首先在教学内容上需要不断更新： 引入一些新的教学内容，摒弃一些陈旧的内容．在这一方面，新的高中数学 教材，已作了较大改进，迈出可喜的一步：新增了向量、概率、微积分等内 容，这些内容不仅是进一步学习的基础，而且也有着广泛的应用；删减了一 些次要的、用处不大的内容，如指数方程、对数方程、部分三角函数的恒等 变换、三角方程、极坐标、幂函数、反三角函数、参数方程、立体几何中面 积与体积的计算；同时，也降低了某些内容的要求．而对于九年制义务教育 的初中教学内容，改革的力度还不大，主要表现在平面几何方面，“欧氏几 何”这一部分内容的去留争议颇大，但现在总的讲，还是趋向于保留其中精 华部分，删减部分较难的和计算量较大的内容．这是因为“第一，几何研讨 的对象，点、线及其基本关系非常简明，初中生对之已有实感，图形性质又 直观具体，学生能主动进行观察、思考，易于对学生进行思维训练．第二， 平面几何有一个适当规模( 不完备的，扩大了的) 较为明确的公理体系作为推 理的出发点，较易使学生体会逻辑推理方式与逻辑严密性，在初中阶段大大 有助于提高学生的思维水平．”[ 2 ] 其次，从数学研究对象来看， “数学是研 究现实中数量关系和空间形式的科学”，尽管这里的空间不一定指三维空间， 也可以是 n 维空间及某些抽象空间，但是，从培养公民的最基本的素质而言， 让学生学习一些几何( 包括立体几何) 知识，掌握几何中点、线、面的位置关 系与数量关系， 对他们今后面对客观世界( 三维空间) ， 应该是大有裨益的． 另 外，笔者曾对初中三个年级学生进行调查，调查的主题是“你对几何课感兴 趣吗？”结果如下：很感兴趣感兴趣不感兴趣年级人数人数％人数％人数％初一5 04 08 081 624初二4 83 57 381 6 . 651 0 . 4初三5 13 77 2 . 561 1 . 881 5 . 2从上表可以看出，低年级学生感兴趣率较高，但随着年级的升高感兴趣 率反而降低．造成这一现象的原因是：( 1 ) 学生的新鲜感的逐步消失；( 2 ) 几 何内容的难度逐渐加深而部分学生难以理解．但总的来说，学生对几何还是 比较感兴趣的，其理由是：图形比较直观、“证题很有意思”等． 在保留平面几何的同时，又要加以适当删减，可以仿照《立体几何》的 做法，删掉“相似形”中的部分内容及后面的内容，以降低几何的难度，减少计算方面的内容． 2 ．重视数学应用能力培养，在教材中多选编一些应用题 1 9 9 9 年 6月 1 3日，中共中央国务院作出了《中共中央国务院关于进一 步深化教育改革全面推进素质教育的决定》，决定指出：素质教育的目的就 是要“培养学生的创新能力与实践能力”．而应用能力的培养是实现创新能 力与实践能力的重要途径．“数学应用是一种数学意识，一种基本观点和态 度”，[ 3 ] 这一观点目前已逐渐被广大数学教育工作者所接受，并在教学中得 到重视．就目前的中学数学教材而言，应用题已不能适应教育改革与发展的 要求，主要表现在： ( 1 ) 应用题所占的比例偏低．据有关资料的统计显示，人教版的九年义务 教育初中数学教材中应用题只占总题量的 9 . 4 ％，高中教材中应用题所占比 例在 1 0 ％左右，这样的比例显然已经不能适应目前改革的形势； ( 2 ) 现行教材的应用题过于陈旧，缺乏时代气息． 针对上述存在的问题，在今后的教材编写中，提出以下几点建议： ( 1 ) 适当提高应用题所占的比例，增加应用题的题量．笔者认为，应用题 的比例在 2 0 ％到 3 0 ％之间为宜，也不能一下子将应用题的比例提得过高，避 免在教学中出现新的不适应现象． ( 2 ) 在选编应用题时，还要 “注意解决现实生活中的实际问题和数学中的 非常规问题，注意到问题的开放性．”[ 4 ] 因此，在选编应用题时，首先应该 考虑到应用题的时代性、实用性及趣味性，如存款与货款问题、分期付款问 题、线性规划问题、风险决策问题以及其他一些与现实生活密切相关的问题， 都可以编入教材．这样，不但培养了学生的感性认识；同时，由于应用题与 自己的生活息息相关，从而增强了解决数学应用题的趣味性，容易使学生充 分享受到学习的乐趣，以增强学生的学习兴趣．另外，还要注意到应用题的 开放性，有些问题，“不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由 浅入深地作出回答”．[ 3 ] 3 ．重视对数学史的介绍，展示知识产生的过程向学生进行数学史的介绍，不仅可以让学生理解知识产生的过程，“再 现”数学家们当初“发现”数学的经过，理解数学的思想与方法，而且还可 以揭示科学发现的一般规律，培养学生的创新能力．在现行的数学教材中， 高中教材在这一方面完全是一片空白，初中教材中，共安排了 9 个“读一读” 介绍了数学史的有关内容，这一个数字对于整个初中内容来说，也显然是太 少了！因此，在这一方面希望作较大幅度的增加．另外，在现行初中教材中，有关数学史的内容，主要是为了进行爱国主义教育，共有 处 占总数6(2 3 的) 介绍了中国数学史的成就，都强调了“中国比外国早多少年”，在这 一方面，应该“一视同仁地介绍各国的成就，其中包括本国成就．不应当搞 狭隘的民族主义，更不能学阿 Q ：‘我的祖上比你阔．’”[ 5 ]因此，建议在 今后的教材编写中，多介绍一些世界各国的数学史知识，多介绍一些数学发 现的过程，在培养学生创新能力的同时，提高学生的数学文化修养． 4 ．重视直觉思维，教学生猜想 多年来，我们一贯重视逻辑思维能力的训练和培养，而忽视了其他思维 的训练( 如直觉思维) ，从而导致了学生数学能力片面发展及思维僵化与保守，不利于数学活动中的创造发明．但这种状况在新的数学教学大纲中已得 到转变：新大纲中，“逻辑思维能力”变成了“思维能力”．事实上，数学 不全部是逻辑思维，“很多数学家很强调‘直觉能力’与‘直觉’．他们对 一些问题提出著名的猜想，这反映了他们有很强的洞察力，能跨过错综复杂 的性质和相互关系，一下子看到定理的正确性，然后再想法从逻辑上加以证 明．证明虽然可能很难找到，但寻找证明的活动，推动了数学的发展．”[ 6 ] 因此，在今后的教材中，应当重视直觉思维能力的培养，多安排一些猜想的 问题，教会学生去“猜想”，以便于培养学生的创造能力． 5 ．在几何教材编写中应重视几何图形位置的变换 在现行的几何教材中，对图形位置的变换没有得到应有的重视，以人教 版九年义务教育三年制初级中学教材《几何》第二册中“5 ．1 2平行线分线 段成比例定理”为例，本节( 含课本练习) 共有 1 2 幅图形，其中有 1 1 幅图形 是比较 “规范” 地将平行线画成水平位置， 仅有 1 幅图形中平行线是竖直的． 事 实上，加强图形位置变换的训练，有利于学生更好地理解数学概念，掌握概 念的本质属性．因此，建议在今后的几何教材编写中，增加图形变换的内容． 6 ．注意加强综合能力的培养 在教材编写中，还应该强化综合能力的培养与训练，充分考虑到学科内 部的综合( 如代数与几何的综合等) 及学科之间的综合( 数学与物理等学科的 综合) ，以适应教育改革的需要． 7 ．建议教材对一些含糊不清的问题作恰当的“规定” 在教学中常常会遇到一些没有明确答案的问题困扰着老师、“折磨”着 学生，对于这样的问题，只要无碍大局，不妨给出一个“规定”．如二面角 的平面角的范围是什么？我们是否可以约定在( 0 ， π) ？诸如此类的问题，在 编写教材时，给予规定，以减轻师生的负担，“把数学变得容易一些”！参考文献1 数学课程标准研制小组．关于我国数学课程标准研制的初步设想．数 学通报，1 9 9 9 ，4 2 陈重穆等．2 1 世纪的平面几何．数学教育学报，1 9 9 7 ，1 1 3 数学教育研究小组．数学素质教育设计要点．数学教学，1 9 9 3 ，2 4 王延文等．“问题解决”及其研究综述．数学教育学报，1 9 9 5 ，8 5 单壿．大纲、教材及其他．载：面向 2 1 世纪的中国数学教育，南京： 江苏教育出版社，1 9 9 4 6 梁之舜．“头脑编程”与数学教育．载：面向 2 1 世纪的中国数学教 育，南京：江苏教育出版社．1 9 9 4化整为零，重点突破──谈反函数的教学四川省自贡市晨光化工研究院第二子弟学校 章明富反函数是中学数学教学的难点，现行教材( 人教版，下同) 已将反函数的 教学要求降到了最基本的程度．但从中学数学的整体结构看，反函数的基本 思想方法在中学函数知识体系中却占有比较重要的地位．此外，由于反函数 的思维具有明显的动态性和互逆性特征，因此，反函数又是训练学生思维灵 活性和创造性的良好素材． 函数思维的主体是动态变量思维，学生的常量思维要发展成变量思维， 必须发生质的转变．在学习函数之前，学生的代数思维是以数字思维和静态 的形式化思维为主．学生通过初中函数的学习，已初步形成函数的数值对应 动态思维，但思维方向是单一的．为分散反函数的教学难点，减小学生学习 反函数的困难，可将反函数知识分解为一些基本的知识点，在教学中提前渗 透一些具体的、直观的知识，重点突破抽象的、本质的内容． 1 ．通过由象求原象的思维训练，渗透对应互逆性 数值对应是函数研究的主要对象， 中学生已具备数值对应的一般常识． 数 值对应分单值对应和多值对应，中学生比较熟悉单值对应在高中《代数》上 册教材的映射教学中，将逆对应提前渗透，可为学生的单向变量思维向双向 变量思维转变提供一个适应期，有利于学生对反函数的对应互逆性思想的理 解． 例 1 已知映射 f ：( x ，y ) →( x ＋y ，x －y ) ．求：( 1 ) 元素( 2 ，1 ) 的原象； ( 2 ) 元素( a ，b ) 的原象． 此题设计成两问，其目的是为了减缓学生逆向抽象思维的难度．由于原 象不能直接求出，思路也并非一目了然，迫使学生对象和原象进行往复联想， 自觉形成逆对应的潜意识，这对后来理解反函数 x ＝ψ( y ) 的对应意义是很有 帮助的．2．揭示幂函数和的图象联系特征，渗透图象关于直线yxyxn mm n== y ＝x 对称的本质特征 图象关于直线 y ＝x 对称，是原函数和反函数图象的联系特征．在反函数 之前，教材中隐含着这种对称思想，这就为提前渗透这种对称提供了条 件．高中《代数》上册教材 ．的幂函数 ＝、、 ＝ 、、 ＝在同一坐标系中的图象，是渗透这种对称知识P48yxy = xyxy = Xyx321 21 3的好材料．教学时，可通过展示函数 ＝和 ＝或 ＝和 ＝的图象上某些关于直线 ＝ 对称的具体点的坐标，如，与yxyx (yxyx )yx(28)313212(82) (12)(18)(32)(278)，、，与，、，与，、⋯⋯，让学生了解关于1 81 227 83 2 直线 y ＝x对称的对称点的两个坐标之间的联系特征，建立点关于直线 y ＝x 对称的初步印象．提前渗透图象关于直线 y ＝x 对称， 有助于学生对互为反函数的图象关于 直线 y ＝x 对称定理证明的理解．这是因为教材在定理的证明中，隐含着一种 数学思想——完备性思想．完备性思想是高中生必须掌握的一种重要的数学 思想，它是以后学习充要条件的认识基础．学生在学习“互为反函数的图象 间的关系”一节时，若对图象关于直线 y ＝x 对称不了解，思维就可能集中到 直观的方面，忽视抽象知识的理解，影响对完备性思想的理解． 3 ．例析函数值域的求法，奠定求反函数定义域的基础 反函数的定义域一般都不是根据反函数的解析式来求，而是通过求原函 数的值域得到．因此，会求函数的值域是掌握反函数知识的必备。