更高更妙的物理：专题21说磁讲解

1、专题21 说 磁 “在观察的领域里，机遇只偏爱那种有准备的头脑”，这句名言，最先是对丹麦科学家奥斯特开创性地发现电流的磁效应所发的感慨。世纪初，在人们对电与磁的认识尚是孤立隔绝的时候，奥斯特却有了一个不同凡响的信念，他认为自然力是统一的，并且是可以互相转化的，电与磁之间也应该有联系。奥斯特致力于电与磁统一性的研究十多年，终于在年冬日的一次讲课中得到了机遇的惠顾：奥斯特将一根与伽伐尼电池相连接的导线垂直跨放在一枚磁针上方，没有发现磁针运动，然后再换另一个更强的伽伐尼电池重复同样的实验，还是不行。在准备结束演讲时，他忽然说“让我们把导线同磁针平行地放置试试看”，于是出现了永垂青史的一幕小磁针几乎和磁子午线成直角地大幅度摆动着!奥斯特实验的旋风冲破了长期以来人们所信奉的电和磁没有联系的观念，开启了电磁研究的新纪元。 现在我们知道，一切磁现象的根源是电流，都是运动电荷之间通过磁场而发生的；电磁场是一个不可分割的统一体，从不同的参考系去考察电磁场时就有不同的描述，表现出电场或磁场的特征。 静磁场与静电场之间有着众多的物理相似，也存在明显的相异。 与电场一样，磁场具有物质的基本属性，会对引入磁场中

2、的运动电荷或导体产生力的作用，描述磁场的线称磁感线，其与电场线的比较如表所示。 由表我们看到，电场线是从正电荷出发，到负电荷终止，说明正电荷是电场的源头、负电荷是电场的尾闾，静电场是有源场；磁感线都是封闭曲线，我们把磁场称为“涡旋场”，这种差异是与正负电荷可以分离而、磁极不可分离的事实相联系的。将通过某一曲面的总磁感线条数称为磁通量，式中是在面法向的分量，由于磁感线总是闭合的，因此穿人闭合曲面的磁感线数必然与穿出闭合曲面的磁感线数相等，通过任何闭合曲面的磁通量一定为零，这就是磁场中的高斯定理。 在电场中，人们从实验中得到关于点电荷间相互作用的库仑定律，由库仑定律得出点电荷的场强，然后根据电场叠加原理，得到电荷系形成的电场的场强。磁场是由电流产生的，根据磁场与电场的相似性，人们做了同样的工作。安培设计精巧的实验定量研究了电流与电流间的相互作用，他把电流看作无穷多小段电流电流元的集合，每一电流元用表示，得到两个电流元间相互作用所遵从的“安培力公式”。与万有引力、库仑力一样，两个电流元之间的作用力也是平方反比力（场力），方向与元电流方向垂直，如图所示（不遵守牛顿第三定律？）。公式中比例系数，

3、其中称为真空磁导率，其值为，量纲为。与电场类比，将磁感应强度定义为检验电流元在该点所受的安培力，即，则电流元在空间某点引起的磁场的磁感应强度为，式中是点对电流元矢径的大小（距离），是电流元与矢径之间小于的夹角；的方向遵守右手螺旋定则，即垂直于电流元与矢径所构成的平面，四指从电流经角转向矢径时拇指所指方向，如图所示。这就是电流元在空间任一点的磁感应强度所遵从的规律，是由毕奥和萨伐尔通过直线电流磁场的实验并由拉普拉斯做了数学处理而推广到一般的，故被称为毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律。根据磁场的叠加原理，从毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律出发，就可以计算电流所产生的磁场。比如无限长直线电流的磁场的磁感应强度。如图所示，直线电流方向向下，距直线电流的一点的磁感应强度是直线电流上各电流元在点引起的的叠加。因为导线无限长，各电流元与矢径之间的夹角从，取第个电流元，点对它的张角为，其长度表示为，由毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律，该元电流在点的磁感应强度，方向由右手螺旋定则判断为垂直于纸面向外；由叠加原理及对称性，直线电流在点引起的磁场的磁感应强度为再比如环形电流中心点处的磁感应强度。如图所示，环形电流半径设为，元

4、电流长度，其在点处引起的磁感应强度，方向垂直纸面向里，则环形电流在点的合磁场磁感应强度为。 利用毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律可计算出“无限长”通电螺线管内部是一个的匀强磁场，其中为单位长度线圈匝数，外部磁感应强度为零。绕得很紧密的细长的螺线管可以理想化为“无限长”螺线管。【例l】两根长直导线沿半径方向引到铁环上、两点，并与很远的电源相连，如图所示。求环中心的磁感应强度。【分析与解】电流从结点分流，通过劣弧与优弧后从点流出，设两弧上电流分别为和，两电流与两弧长度成反比；再来看两电流在点引起的磁感应强度，由毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律可知，显然，；由右手螺旋定则可判断方向垂直纸面向里，方向垂直纸面向外，故环中心点的磁感应强度为零。【例2】如图所示，一恒定电流沿着一长为、半径为（）的螺线管流过，在螺线管内部产生了磁感应强度大小为的磁场，试求线圈末端即图中点的磁感应强度及以为中心的半径为的圆上的磁通量。【分析与解】设点的磁感应强度为，设想在此螺线管左端再加一个完全相同的通电螺线管，则点成螺线管内部，其磁感应强度，可知；在线圈的端面，磁感应强度的水平分量为，而竖直分量之合成为零，故以为中心的半径为的

5、圆上的磁通量。【例3】由相同导线构成的立方形框架如图所示，让电流从顶点流入、流出，求立方形框架的几何中心处的磁感应强度。【分析与解】如同我们在专题中做过的，正方形框架各边上的电流分布情况是、导线上电流均为；其余各边上电流均为；点磁场是条直线电流在点引起的合磁场，磁感应强度由各电流在点的分量叠加而成。注意到载流导线和、和、和、和、和、和都各是同向平行等值电流，在点引起等值而反向的磁感应强度，各各对消，故点的磁感应强度为零。【例4】一匝密绕的螺线管长为，半径为，且。当通有恒定电流时，试求作用在长螺线管侧面上的压强。【分析与解】作用在电流强度为、长的电流元上的安培力大小为，是受力电流元所在外磁场的磁感应强度。在如图所示的长螺线管上处取一电流元，电流元处在除自身外的螺线管其余部分电流在该处产生的磁场中，设这个磁场磁感应强度为。考察处长螺线管外侧面，电流元在长螺线管外侧面的点产生的磁感应强度设为，由于长螺线管外侧面磁感应强度为零，则有；而在处长螺线管内侧面，电流元产生的磁感应强度大小仍为，但方向相反，螺线管其余部分电流在该处产生的磁场为，而无限长通电螺线管内部磁场由全部电流产生，则有，故有，于是

6、可得电流元所受其余部分电流的力为，而作用在长螺线管侧面上的压强。磁场是一个涡旋场，这使磁场与电场在力与能的属性上有诸多不同之处。同样的带电粒子在磁场中的运动表现也与在电场中不一样。如表所示是带电粒子在匀强电场与匀强磁场中运动的对照。【例5】如图所示，经电压加速的电子（加速前静止）从电子枪射出，其初速度沿直线方向。若要求电子能击中在方向，与枪口相距的靶，试求以下两种情况下，所需的匀强磁场的磁感应强度的大小。磁场垂直于直线与靶所确定的平面；磁场平行于枪口向靶所引的直线。【分析与解】磁场垂直于直线。与靶所确定的平面时，电子将在此平面上做匀速圆周运动，为击中靶，应令其轨道过点，由图甲所示几何关系，可求出轨道圆的半径为；由，其中电子从电子枪射出时速度可由加速电场中求出，则此种情况下所需的匀强磁场的磁感应强度的大小为。 若磁场平行于枪口向靶所引的直线，电子将在与此平面垂直的平面上做匀速圆周运动，同时沿直线方向匀速直线运动，其轨迹为以的平行线为轴的等距螺旋线，为击中靶，应令电子的螺旋线轨道过点，如图乙所示。为此，在匀速直线运动完成位移的时间内，匀速圆周运动应完成整周期运动，即有，则。（为正整数）代入

7、数据计算得。【例6】如图所示，一簇质量均为、电量均为的离子在点以同一速率沿上半平面中的各个方向射出，垂直于平面的匀强磁场将这些离子聚焦在点，点与点相距为，离子轨道应是轴对称的。试确定磁场区的边界。讨论当情况下可聚焦的离子发射角范围。【分析与解】我们曾在电场中研究过类似的问题（递进测试第题），在那里，我们确定了满足条件的电场的边界是抛物线。这里，我们也考虑到离子的运动有明显的轴对称性，设离子在进入磁场前做直线运动，进入磁场区后，在洛伦兹力作用下沿一段圆弧运动，而后离开磁场区，沿直线运动至。对不同的离子射出角，以适当的圆弧与之衔接，如图所示，各轨道直线与圆弧对接点，即离子出、入磁场的点的集合为所求磁场的边界。如图所示，以角从点射出的粒子，先做直线运动，在坐标为（，）处进入磁场做匀速圆周运动，轨道半径，由几何关系，而，得，此即磁场的边界方程或。由于磁场区域受到条件的限制，可聚焦的粒子的出射角范围也有限制，在题给条件下，磁场边界方程如图所示，当离子射出角为时，沿半径为的半圆运动至；当离子射出角为零时，沿轴运动至；而当射出角时无法聚焦到处。 在及时可聚焦的粒子的出射角范围留给有兴趣的读者自行探讨

8、。 带电粒子在电场与磁场的复合场中，既受电场力，又受洛伦兹力的作用，运动情况将较为复杂。我们介绍几种简单而重要的有应用背景的情况。 速度选择器 正交的匀强电场与匀强磁场区域被称为速度选择器，它因只可以让各种速度垂直于电场与磁场的带电粒子中具有一定速率的带电粒子直线通过而得名。带电粒子在正交的匀强电场与匀强磁场区域同时受到电场力及洛伦兹力的作用，若该二力大小相等、方向相反，即，粒子在该区域所受合力为零，则会沿直线通过而不因发生偏转落到电极板上，可见能通过“速度选择器”的带电粒子其速度大小须满足。 当带电粒子的速度大于或小于“选择速度”时，其运动情况如何呢？不妨设带正电粒子的初速度为零，处于如图所示的互相垂直的匀强电场与匀强磁场中，释放后受电场力的作用，粒子将会加速，一旦有了速度又将受到洛伦兹力的作用而改变速度的方向，故粒子将做较为复杂的曲线运动。现在我们运用分解运动的法宝将复杂运动分解成较为简单的两个运动试试：将初速度为零等效为与匀强电场及匀强磁场均垂直的大小的速度和方向相反、大小为的速度的合成，在这样的初状态下，带电粒子受到三个力的作用，电场力；洛伦兹力和洛伦兹力，方向如图所示，则粒子

9、将同时完成两个运动，一个是以做匀速直线运动；一个是在这个向心力作用下以做匀速圆周运动，则粒子的实际运动是这两个运动的合成，其轨迹为一滚轮线，相当于半径为的圆轮在水平面上作纯滚动时轮缘上一点的运动。【例7】如图所示，质量均为，电量为和的两个带电质点相距。开始时，系统的质心静止地位于坐标原点处，且两带电质点在平面上绕质心沿顺时针方向做圆周运动。设当系统处于图所示位置时，规定为时刻，从该时刻起在所讨论的空间加上沿轴方向的弱匀强磁场。试求：质心的速度分量和随时间的变化关系及运动轨迹方程，定性画出质心的运动轨迹。设两带电质点绕质心的圆周运动保持不变，忽略一切万有引力。两带电质点间的相互作用力视作库仑力。【分析与解】两带电质点构成的“双星”系统质心位于处，未加磁场时，系统不受外力，质心速度为零，两质点绕质心做角速度为的匀速圆周运动，由动力学方程，得； 加沿轴方向的弱匀强磁场，质心受到的磁场力是两电荷所受洛伦兹力之合力：大小总是，方向沿两质点连线而指向方向，是一个“有心力”，此力引起的质心加速度为，角速度为。这使我们想到可以把质心的运动分解成两个分运动：设质心的一个初速度为（这是在磁场作用下，电荷沿半径为的轨道运动所对应的速度），方向为，则质心的一个分运动是线速度为、角速度为、向心加速度为、半径为的匀速圆周运动；质心的另一个初速度是，方向为，故质心的另一个分运动为匀速直线运动。这样，质心的运动是匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，如图所示，质心速度的方向分量与方向分量分别是质心运动轨迹为滚轮线，如图所示。磁聚焦 如图所示，通过在一组平行金属板上加交变电压产生横向电场，用载流长螺线管得到其内部的纵向（横向）匀强磁场，经加速电场加速、速度为的电子束通过横向电场后，以各种发散角度进入纵向匀强磁场，电子的运动轨迹为螺旋线，每经过相同的时间，电子回旋一周并前进一个螺距，若电子沿纵向磁场的运动路径长为，可以调节磁感应强度，使所有电子在路径上完成整数个圆周运动，即比值为整数

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