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大学科目《线性代数》复习要点

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1、线性代数知识点总结第一章行列式1. 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的个元素的乘积的和2. 行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等对换行列式的两行（列），行列式变号行列式两行（列）完全相同，此行列式等于零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变3. 行列式按行（列）展开行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和1. 由行列式的定义，中的系数为 2. 求行列式的值3. 设，的元的代数余子式记作，求。第二章矩阵及其运算1. 矩阵的运算加法，数乘，相乘，转置（），方阵的行列式（）2. 特殊矩阵对称矩阵（）伴随矩阵（）正交矩阵（）相似矩阵（）合同矩阵（）3. 矩阵可逆的充要条件存在有限个初等矩阵的特征值全是非零的4. 逆矩阵的计算逆矩阵满足的运算规律：

2、。5. 分块矩阵的运算规律6. 克拉默法则7. 设是阶矩阵，则 8. 已知，则9. 设且可逆. 求10. 已知，，求.11. 设. 求.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵2. (i) 与行等价的充要条件是存在可逆矩阵，使(ii) 与列等价的充要条件是存在可逆矩阵，使(iii) 与等价的充要条件是存在可逆矩阵以及可逆阵，使3. 矩阵秩的性质若、可逆，则 4. 元非齐次线性方程组(i) 无解的充要条件是(ii) 有惟一解的充要条件是(iii) 有无限多解的充要条件是5. 元齐次线性方程组(i) 只有零解的充要条件是(ii) 有非零解的充要条件是6. 矩阵方程有解的充要条件是4. 取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。5. 设. 已知的秩为，求和的值6. 设是一组维向量，是维单位坐标向量组，满足.证明矩阵可逆且向量组线性无关。第四章向量组的线性相关性1. 向量能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。2. 向量组能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，

3、即3. 向量组与向量组等价的充要条件是4. 设向量组能由向量组线性表示，则5. 判断向量组线性相关与线性无关的方法：(i) 定义法：设，求（适合维数低的）(ii) 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关(iii) 向量组线性相关的充要条件是，线性无关的充要条件是(iv) 向量的个数大于维数，则此向量组线性相关6. 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式惟一。7. 最大无关组的定义：设有向量组，如果在中能选出个向量满足(i) 向量组线性无关(ii) 向量组中任意个向量都线性相关，那么称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组。等价定义：(i) 向量组线性无关(ii) 向量组的任一向量都能由向量组线性表示，那么向量组是向量组的一个最大无关组。8. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。9. 齐次线性方程组(1)解的结构：若为方程(1)的解，(i) 也是方程(1)的解；(ii) 也是方程(1)的解(iii) 也是方程(1)的解(iv) 设矩阵的秩则元齐次线性方程组(1)的解集的秩齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组

4、的基础解系。10. 非齐次线性方程组(2) 解的结构：若为方程(2)的解，则(i) 是方程(1)的解(ii) 是方程(2)的解, 是方程(1)的解,则是方程(2)的解(iii) 是方程(1)的基础解系，是方程(2)的一个特解，则是方程(2)的通解。11. 向量空间：非空，对加法和数乘封闭，基、维数、过渡矩阵的概念。12. 设矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。，13. 向量空间的维数。第五章相似矩阵及二次型1. 向量的内积内积的定义，性质(非负性、对称性、线性性)，向量的长度，两向量正交，正交矩阵的定义。定理1：若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。2. 方阵的特征值与特征向量是阶方阵，若数和维非零列向量，使成立（有非零解），则称为A的一个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。，若是A的特征值，则是的特征值，是的特征值，是的特征值。定理2：设是方阵的个特征向量，依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关。推论：设和是方阵的两个不同特征值，和分别是对应于和的线性无关的特征向量，则，线性无关。3. 相似矩阵A、 B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足，则矩阵A与B相似。定理3：若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同。定理4：阶矩阵与对角矩阵相似（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。推论：如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似。4. 对称矩阵的对角化性质：设和是对称矩阵的两个不同特征值，是对应的特征向量，则正交。定理5：设是阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元的对角矩阵。推论：设是阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量。5. 二次型及其标准形6. 正定二次型定理8 元二次型为正定的充要条件是：它的标准形的个系数全为正，即它的规范形的个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于。推论对称矩阵为正定的充要条件是：的特征值全为正定理9 对称矩阵为正定的充要条件是：的各阶主子式都为正，为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。7. 若A的特征值为1,2,4，求= .8. 设矩阵可相似对角化，求y=？9. 用一个正交变换，将二次型化为标准形，并求出正交变换的矩阵.

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