高考数学试题及答案(广东卷).pdf

普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分选择题和非选择题两部分.共 4 页，满分150 分.考试时间120 分钟 . 注意事项：1答卷前， 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用 2B 铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 第一部分选择题（共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、函数23( )lg(31)1xf xxx的定义域是A.1(,)3B. 1(,1)3C. 1 1(, )3 3D. 1(,)32、若复数z满足方程220z，则3zA.22B. 22C. 22iD. 22i3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,yxxRB. sin ,yxxRC. ,yxxRD. x1() ,2yxR4、如图 1所示，D是ABC 的边AB上的中点，则向量CDA.12BCBAB. 12BCBAC. 12BCBAD. 12BCBA5、给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4 B. 3 C. 2 D. 1 6、已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 2 ADCB图 1 7、函数( )yf x的反函数1( )yfx的图像与y轴交于点(0, 2)P（如图 2 所示），则方程( )0f x在1,4上的根是xA.4 B.3 C. 2 D.1 8、已知双曲线2239xy，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.2B. 2 23C. 2 D. 4 9、 在 约 束 条 件0024xyyxsyx下 ， 当 35x时 ， 目 标 函 数32zxy的最大值的变化范围是A.6,15B. 7,15C. 6,8D. 7,810、对于任意的两个实数对( , )a b和( , )c d，规定：( , )( , )a bc d，当且仅当,ac bd ；运算“”为：( , )( , )(,)abc dacbd bcad；运算“”为：( , )( , )(,)abc dacbd，设,p qR，若(1,2)( , )(5,0)p q，则(1,2)( , )p qA.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0, 4)第二部分非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分. 11、2241lim()42xxx_. 12、棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_. 13、在112()xx的展开式中，5x的系数为 _. 14、 在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间， 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1 堆只有 1 层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以( )f n表示第n堆的乒乓球总数，则(3)_f；( )_f n（答案用n表示） . 三解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本题 14 分)已知函数( )sinsin(),2f xxxxR. (I)求( )f x的最小正周期；xy12431( )yfxO图 2 图 4 xyxys24yx图 3 O(II) 求( )f x的的最大值和最小值；(III) 若3()4f，求 sin2的值 . 16、 (本题 12 分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X067 8 9 10 P0 0.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7 环的概率(II) 求的分布列(III) 求的数学期望E. 17、 (本题 14 分 )如图 5所示，AF、DE分别世O 、1O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8AD.BC是O的直径，6ABAC,/OEAD . (I)求二面角BADF的大小；(II) 求直线BD与EF所成的角 . 18、 (本题 14 分)设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、 极大值 .xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xf x（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足?4PA PB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点 .求(I)求点 AB、的坐标；(II) 求动点Q的轨迹方程 . 19、 (本题 14 分)已知公比为(01)的无穷等比数列na各项的和为9，无穷等比数列2na各项的和为815. (I)求数列na的首项1a和公比q；(II) 对给定的(1,2,3, )k kn，设()kT是首项为ka，公差为21ka的等差数列， 求(2)T的前10 项之和；(III) 设ib为数列()kT的第i项，12nnSbbb， 求nS， 并求正整数(1)m m， 使得limnmnSn存在且不等于零. （注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）图 5 ABCFDEO1O20、 (本题12 分)A是定义在2,4上且满足如下条件的函数( ) x组成的集合：对任意的1,2x，都有(2 )(1,2)x；存在常数(01)LL，使得对任意的12,1,2x x，都有1212| (2)(2)|xxL xx. (I)设3(2 )1,2,4xx x，证明：( )xA(II) 设( )xA，如果存在0(1,2)x，使得00(2)xx，那么这样的0 x是唯一的；(III) 设( )xA，任取1(1,2)x，令1(2)nnxx，1,2,n，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p，成立不等式121|1kkpkLxxxxL2006 年高考数学参考答案广东卷(B) 第一部分选择题（ 50 分）1、解：由13101301xxx，故选 B. 2、由izizz2220232，故选 D. 3、 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数 ;故选 A. 4、BABCBDCBCD21，故选 A. 5、正确，故选B. 6、3302551520511ddada，故选 C. 7、0)(xf的根是x2，故选 C 8、依题意可知3293,322baca，2332ace，故选 C. 9、由42442sysxxysyx交点为)4, 0(),0(),42,4(),2,0(CsCssBA，（1）当43s时可行域是四边形OABC ，此时，87z（2）当54s时可行域是OAC此时，8maxz故选 D. 10、由)0,5(),()2, 1(qp得210252qpqpqp, 所以)0,2()2, 1 ()2, 1 (),()2, 1 (qp,故选 B. 第二部分非选择题（ 100 分）二、填空题11、4121lim)2144(lim222xxxxx12、274233332RSRd13、85112)2()2(1121111111111111rrxCxxCTrrrrrrr所以5x的系数为1320)2()2(3113111111CCrr14、)3(f10，6)2)(1()(nnnnf三、解答题15 解：)4sin(2cossin)2sin(sin)(xxxxxxf（）)(xf的最小正周期为212T; （）)(xf的最大值为2和最小值2；（ ）因 为43)(f， 即167cossin243cossin, 即1672sin16 解： ( )求该运动员两次都命中7 环的概率为04.02 .02.0)7(P；()的可能取值为7、8、9、10 04.0)7(P21.03 .03.02. 02)8(2P39. 03 .03.03.023.02 .02)9(2P36. 02.02.03.022. 03.022 .02. 02)10(2P分布列为7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 () 的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07E. 17、解： ()AD 与两圆所在的平面均垂直, AD AB, AD AF,故 BAD 是二面角BAD F的平面角，依题意可知， ABCD 是正方形，所以BAD 450. 即二面角 BAD F 的大小为450；()以 O 为原点， BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0，23，0），B（23，0，0）,D（0，23，8），E（0，0，8）， F（0，23，0）所以，) 8,23,0(),8 ,23,23(FEBD10828210064180|,cosFEBDFEBDEFBD设异面直线BD与EF所成角为，则1082|,cos|cosEFBD直线 BD 与 EF 所成的角为1082arccos18 解: ()令033)23()(23xxxxf解得11xx或当1x时,0)(xf, 当11x时 ,0)(xf,当1x时,0)(xf所以, 函数在1x处取得极小值, 在1x取得极大值,故1, 121xx,4)1 (,0) 1(ff所以 , 点 A、B 的坐标为)4, 1 (),0, 1(BA. () 设),(nmp，),(yxQ，4414 ,1,122nnmnmnmPBPA21PQk， 所以21mxny， 又 PQ 的中点在)4(2 xy上， 所以4222nxmy消去nm,得92822yx19 解: ()依题意可知 ,32358119112121qaqaqa()由()知,1323nna,所以数列)2(T的的首项为221at,公差3122ad, 15539102121010S,即数列)2(T的前 10 项之和为155. () ib=121iiaia=112iaii=1321231iii，2132271845nnnSnn，mnnnSlim=nlimmnmmnnnnnn2132271845当 m=2 时，mnnnSlim=21，当 m2 时，mnnnSlim=0，所以 m=2 20、解： 对任意2, 1 x,2 , 1 ,21)2(3xxx,33)2( x35,253133,所以)2, 1 ()2( x对任意的 2, 1 ,21xx，23232132121211121212|)2()2(|xxxxxxxx，332321321112121xxxx，所以02323213211121212xxxx32,令2323213211121212xxxx=L，10L，|)2()2(|2121xxLxx所以Ax)(反证法 :设存在两个0000),2, 1(,xxxx使得)2(00 xx,)2(00 xx则由|)2()2(|/00/00 xxLxx，得|/00/00 xxLxx，所以1L，矛盾，故结论成立。

121223)2()2(xxLxxxx，所以1211xxLxxnnn|1|1211211xxLLxxxxxxxxkkkpkpkpkpkkpkkkpkpkpkpkxxxxxx1211123122xxLxxLpkpk+121xxLk1211xxLLK。