北京四中中考数学专练总复习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载《二次函数》全章复习与巩固—学问讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上熟悉二次函数的性质；3．会依据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴 〔 公式不要求记忆和推导 〕 ，并能解决简洁的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 .【学问网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，假如 是常数， ，那么 叫做 的二次函数 .要点诠释：2假如 y=ax +bx+c〔a,b,c 是常数， a≠0〕 ，那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．要点二、二次函数的图象与性质1. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：a的肯定值越 大，抛物线的开口越小 .① ；② ；③；④，其中 ；⑤. （以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特点如下： 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标〔 轴〕 〔0 ， 0〕当 时开口向上 当 时开口向下〔 轴〕 〔0 ， 〕 〔 ， 0〕〔 ， 〕〔 〕2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .(1) 的符号打算抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、外形相同 .(2) 平行于 轴〔 或重合 〕 的直线记作 . 特殊地， 轴记作直线 .3. 抛物线y ax 2bx c〔a≠0〕 中，a , b, c 的作用：(1) 打算开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样 .(2) 和 共同打算抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 的对称轴是直线 ， 故：① 时，对称轴为 轴；② 〔 即 、 同号 〕 时，对称轴在 轴左侧；③ 〔 即、 异号 〕 时，对称轴在 轴右侧 .(3) 的大小打算抛物线 与 轴交点的位置 .当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点 〔0 ， 〕 ：① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 轴右侧，就 .4. 用待定系数法求二次函数的解析式：(1) 一般式： （a≠0） . 已知图象上三点或三对 、 的值，通常挑选一般式 .(2) 顶点式： （a≠0） . 已知图象的顶点或对称轴，通常 挑选顶点式 .〔 可以看成 的图象平移后所对应的函数 .〕 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载(3) “交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：（a≠0） .〔 由此得根与系数的关系： 〕.要点诠释：求抛物线y ax2bx c（ a≠ 0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法： 配方法、 公式法、 代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应依据实际敏捷挑选和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴 交点的横坐标 ，因此二次函数图象与 x 轴的交点情形打算一元二次方程根的情形 .(1) 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，就方程有两个不相等实根；(2) 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，就方程有两个相等实根；(3) 当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，就方程没有实根 .通过下面表格可以直观地观看到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象方程有两个不等实数解的解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定 .(1) 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，就方程有两个不相等实根；(2) 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，就方程有两个相等实根；(3) 当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，就方程没有实根 .要点四、 利用 二次函数解决实际问题 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去争论问题 . 在争论实际问题时要留意自变量的取值范畴应具有实际意义 .利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1) 建立适当的平面直角坐标系；(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 .要点诠释：常见的问题：求最大 〔 小 〕 值〔 如求最大利润、最大面积、最小周长等 〕 、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等 . 解决这些实 际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式 .【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点 1 , 1 ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，2 4就该二次函数的解析式为 ．【答案】 y1 x21 x 或y x2 x ．3 3【解析】 正确找出图象与 x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为 〔1 ， 0〕 或〔-1 ， 0〕 ．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为y ax2bx c ．c 0,就有 1 1 a1 b c ，或c 0,1 1 a1 b c,4 4 2 4 4 2a b c 0 a b c 0,a解之 b c13 a 1,1 ，或 b 1,30 c 0.因此所求二次函数解析式为 y1 2 1x x 或y x2 x ．3 3【点评 ] 此题简洁出错漏解的错误．举一反三：【高清课程名称： 二次函数复习 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载高清 ID 号： 357019 关联的位置名称（播放点名称） ： 〔1〕 - （ 2）问精讲】2【变式】 已知：抛物线 y=x +bx+c 的对称轴为 x=1 ，交 x 轴于点 A、B〔A 在 B 的左侧 〕 ，且 AB=4，交 y 轴于点 C.求此抛物线的函数解析式及其顶点 M的坐标 .【答案】 ∵对称轴 x=1，且 AB=4∴抛物线与 x 轴的交点为： A〔-1 ， 0〕 ， B〔3， 0〕b 1 b=-22 c=-31 b c 02∴y=x -2x-3 为所求 ,∵x=1 时 y=- 4 ∴M〔1， -4〕∵对称轴 x=1，且 AB=4∴抛物线与 x 轴的交点为： A〔-1 ， 0〕 ， B〔3， 0〕b 1 b=-221 b c 0c=-3∴y=x2-2x-3 为所求 ,∵x=1 时 y=-4 ，∴M〔1， -4〕.类型二、依据二次函数图象及性质判定代数式的符号2．二次函数y ax2 bx c 的图象如图 1 所示，反比例函数 ya与正比例函数 y＝〔b+c〕xx在同一坐标系中的大致图象可能是 〔 〕 ．【答案】 B；【解析】 由y ax 2bx c的图象开口向上得 a＞ 0，又b 0 ，∴ b ＜0．2a由抛物线与 y 轴负半轴相交得 c＜ 0．∵ a ＞ 0，∴ay 的图象在第一、三象限．x∵ b+c ＜0，∴ y ＝ 〔b+c〕x 的图象在其次、四象限． 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载同时满意 ya和 y 〔b c〕 x 图象的只有 B．x【点评】 由图 1 得到 a、b、c 的符号及其相互关系，去判定选项的正误 .类型三、数形结合3．如下列图是二次函数y ax2bx c 图象的 一部分，其对称轴为直线 x ＝ 1，如其与 x 轴一交点为 〔3 ， 0〕 ，就由图象可知，不等式ax2bx c0 的解集是 ．【思路点拨】依据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标可知，抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标，观看图象可得不等式ax2bx c0 的解集 .【答案】 x＞ 3 或 x＜ -1 ；【解析】 依据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A〔3 ，0〕 知， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 〔-1 ，0〕 ，观看图象可知，不等式ax 2bx c0 的解集就是y ax2bx c 函数值， y ＞ 0 时， x 的取值范畴．当 x＞ 3 或 x＜ -1 时， y＞ 0，因此不等式ax2bx c0 的解集为 x＞3 或 x＜-1 ．【 点 评 】 弄 清a x2b x c0 与 y ax 2bx c 的 关 系 ， 利 用 数 形。