新教材人教A版数学必修章册学案-5.7-三角函数的应用-含答案.doc

5.7　三角函数的应用学 习 任 务核 心 素 养1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t s后小球的位移为x cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin(ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义1.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)A．3π，， B．6π，，C．3π，3，－ D．6π，3，B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]2.函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．　x－　－　[频率为＝，相位为x－，初相为－.] 类型1　三角函数模型在物理学中的应用【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[解]　列表如下：t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值． 类型2　三角函数模型的实际应用【例2】　(对接教材P245例题)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.解三角函数应用问题的基本步骤　提醒：关注实际意义求准定义域．2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？[解]　(1)由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin＋6＝－2，即sin＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ＝－，所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调． 类型3　数据拟合模型的应用【例3】　下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度)．月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；(2)这个函数的周期是多少？(3)估计这个正弦曲线的振幅A；(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin .[解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12.(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(4)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝>1≠cos ，∴①不适合．代入②，得＝<0≠cos ，∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．处理数据拟合和预测问题的步骤(1)根据原始数据，绘出散点图．(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0y＝－4cos t　[设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.]1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)A．y＝sin　　 B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sinD　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.∴y＝sin，故选D.]2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5　 B．6　　　C．8　 D．10C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C.]3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)A．该质点的运动周期为0.8 sB．该质点的振幅为－5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零AD　[由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0.故选AD.]4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．y＝－6sinx，x∈[0,24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.当x＝9时，ymax＝6.故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0,24]．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？[提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？[提示]　→→。