建筑力学 上册 第2版 教学课件 ppt 作者 杨力彬 等主编 10

1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第十章 平面图形的几何性质,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,教学主要内容,静矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 形心主惯性轴和形心主惯性矩,特 点,学习中应抓住各种概念的定义及其计算公式，熟练掌握计算方法，并能灵活运用,概念多、定义多、相互间联系少,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,了解平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念的定义，及计算公式、单位、正负情况等。学会静矩的计算，记住圆形和矩形的形心主惯矩的计算公式；,明确形心主轴和形心主惯矩的概念；,学会使用型钢表。,掌握平行移轴公式，并能熟练地应用它计算组合图形的形心主惯矩；,本章目标要求,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，还与杆件截面的横截面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。,这些与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。,平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。,平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计

2、算中不可缺少的几何参数。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第一节 静 矩,一、静矩的概念,dA,微面积dA与坐标 y（或坐标 z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩,这些微小乘积在整个面积 A内的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩。,用Sz（或Sy）表示。即,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言的。,同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。,静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。,常用单位是 m3或 mm3。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,C,现设平面图形的形心C的坐标为 zC、yC 。,在第五章中，已得到求平面图形形心的坐标的公式为,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在上式中，面积A取得越小，形心坐标就越精确。,故在A0 的极限情况下，图形形心坐标的精确公式可写成积分形式。即,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；,反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。,如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。,故平面图形

3、对其对称轴的静矩必等于零。,二、组合图形的静矩,在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环形等横截面的构件，这些构件的截面图形是由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,根据平面图形静矩的定义，组合图形对 z轴（或 y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即,式中 yCi 、zCi 及 Ai 分别为各简单图形的形心坐标和面积，n 为组成组合图形的简单图形的个数。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,组合图形形心的坐标计算公式,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-1 矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对 z1轴的静矩 Sz1和对形心轴 z 的静矩 Sz 。,矩形截面对 z1 轴的静矩,矩形截面对 z 轴的静矩,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-2 试计算图示的平面图形对 z1 和 y1 的静矩，并求该图形的形心位置。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,该平面图形的形心坐标为,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第二节 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩,在第九章中，我们已经得到求平面图形对极点的极惯性矩的计算

4、公式为,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。,惯性矩的单位为4 或4 。其值恒为正。,从上述惯性矩的定义可以看出，惯性矩也是对坐标轴而言的。,同一图形对不同的坐标轴，其惯性矩不同。,极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也不相同。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、惯性积,惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。,由于坐标值 z、y有正负，因此惯性积可能为正或负，也可能为零。,其单位为 m4或 mm4。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,三、惯性半径,在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积 A与某一长度平方的乘积。即,式中 iz 和 iy 分别称为平面图形对 z 轴和 y 轴的惯性半径，也叫回转半径。,它的单位为m或mm。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-3 矩形截面的如图所示。

5、试计算矩形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩、惯性半径及惯性积。,(1) 计算矩形截面对 z 轴和 y 轴的惯性矩,dA=bdy,dA=hdy,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,(2) 计算矩形截面对 z 轴和 y 轴的惯性半径,(3) 计算矩形截面对 z 轴和 y 轴的惯性积,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-4 直径为D的圆形截面如图所示。试计算圆形对形心轴 z、y 的惯性矩和惯性半径。,(1) 计算圆形截面对 z 轴和 y 轴的惯性矩,圆形截面对任一根形心轴的惯性矩都等于,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,(2) 计算圆形截面对 z 轴和 y 轴的惯性半径,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第三节 组合图形的惯性矩,一、平行移轴公式,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,特别注意：式中 Iz 必须是平面图形对其形心轴的惯性矩。,上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。,由于 a2 恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-5

6、 计算图示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-6 三角形截面如图所示。z1轴与z0平行。试求该图形对z1轴的惯性矩。已知,再次强调：在应用平行移轴公式时，z 轴、y轴必须是形心轴，z1 轴、y1 轴必须分别与 z 轴、y轴平行。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、组合图形惯性矩的计算,由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组合图形。,由惯性矩定义可知：组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即,在计算组合图形的惯性矩时： 首先应确定组合图形的形心位置，,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，,再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。,例10-7 试计算图示T形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩。图中单位为mm 。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,课堂练习：计算 Iz 及 Iy,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,普通高等教

7、育“十一五”国家级规划教材,刚才的计算是采用“负面积法” 。,两种计算方法所得结果相同，它表明：,当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之和；,当把组合图形视为几个简单图形之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例10-8 试计算图示的由方钢和20a工字钢组成的组合图形对形心轴 z、y 的惯性矩。,首先确定组合图形的形心位置。,需查附录的型钢表，并注意三点：,需要什么查什么,由附录型钢表查得：,对应关系,单 位,20a工字钢h=200mm，其截面面积 A1 = 35.5 cm2 = 3550mm2，Iz1=2370cm4 =23.7106mm4，Iy=158 cm4=1.58106 mm4,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第四节 形心主惯性轴 形心主惯性矩,一、转轴公式,上节我们讨论了坐标轴与形心轴平行时，平面图形对坐标轴的惯性矩和惯性积的计算公式。,本节继续研究一对互相垂直的坐标轴绕原点在平面图形内旋转时，平面图形对坐标轴的

8、惯性矩和惯性积的变化规律。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,根据惯性矩定义，图形对z1轴的惯性矩为,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,以上两式分别称为惯性矩和惯性积的转轴公式。,上式表明：平面图形对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于该图形对该坐标原点的极惯性矩。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、形心主惯性轴和形心主惯性矩,由上式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随角作周期性的变化，其值可能为正或负，也可能为零。,但总可以找到一对坐标轴 z0、y0 轴，使平面图形对这对坐标轴的惯性积为零。,通常我们把这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。,平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,确定形心主轴的位置是十分重要的。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2）如果图形有两根对称轴，则该两轴都是形心主轴，如图b所示。,1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。,如图a所示。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等，如图c所示。,

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