华罗庚学校六年级奥数课本（上下册）.doc

电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　22第一讲 列方程解应用题这一讲学习列方程解应用题．例 1 甲乙两个数，甲数除以乙数商 2余 17．乙数的 10倍除以甲数商 3余45．求甲、乙二数．分析 被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为 x，则根据甲数除以乙数商 2余 17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的 10倍除以甲数商 3余 45得 10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．解：设乙数为 x，则甲数为 2x+17．10x=3（2x＋17）+4510x=6x＋51+454x=96x＝242x+17=2×24+17=65．答：甲数是 65，乙数是 24．例 2 电扇厂计划 20天生产电扇 1600台．生产 5天后，由于改进技术，效率提高 25％，完成计划还要多少天？思路 1：分析 依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产 5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　33计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效 x所需的天数=剩下台数．解：设完成计划还需 x天．1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×580×1.25x=1600-400100x=1200x=12．答：完成计划还需 12天．思路 2：分析 “思路 1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高 25％”是指比原效率提高 25％．把原来效率看成解：设完成计划还要 x天．答：完成计划还需 12天．例 3 有一项工程，由甲单独做，需 12天完成，丙单独做需 20天完成．甲、乙、丙合作，需 5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　44工作总量．解：设乙单独做，需 x天完成这项工程．答：乙单独做这项工程需 15天完成．例 4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450 人参赛．比赛结果全体学生的平均分为 76分，男、女生平均分数分别为 79分、71 分．求男、女生至少各有多少人参赛？分析 若把男、女生人数分别设为 x人和 y人．依题意全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为 79分、71 分，可以确定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数=（男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而使问题得解．解：设参加数学邀请赛的男生有 x人，女生有 y人．79x+71y＝（x+y）×7679x+71y＝76x+76y电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　553x＝5y∴ x：y=5：3总份数：5＋3=8．在 380～450 之间能被 8整除的最小三位数是 384，所以参加邀请赛学生至少有 384人．答：男生至少有 240人参加，女生至少有 144人参加．例 5 瓶子里装有浓度为 15％的酒精 1000克．现在又分别倒入 100克和 400克的 A、B 两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为 14％．已知 A种酒精的浓度是 B种酒精的 2倍，求 A种酒精的浓度．分析 依题意，A 种酒精浓度是 B种酒精的 2倍．设 B种酒精浓度为 x％，则 A种酒精浓度为 2x％．A 种酒精溶液 10O克，因此 100×2x％为 100克酒精溶液中含纯酒精的克数．B 种酒精溶液 40O克，因此 400×x％为 400克酒精溶液中含纯酒精的克数．解：设 B种酒精浓度为 x％，则 A种酒精的浓度为 2x％．150＋6x＝14×156x=602x％＝2×10％＝20％．答：A 种酒精的浓度为 20％．电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　66例 6 有人用车把米从甲地运到乙地，装米的重车日行 50里，空车日行 70里，5 日往返三次．问两地相距多少里？（选自《九章算术》）分析 当你用算术法解这道题时会感到比较困难．但用方程解这一算术“难题”就容易多了．列方程解应用题的关键在于确定等量关系，确立等量关系还有一种常用的方法叫译式法，即把日常用语译成代数语言，通过列表可以看出列方程的过程．解 ：设两地相距 x里．电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　77依题意列方程：3×（100000+x）=10x＋1300000+3x=10x+17x=299999x＝42857例 8 兄弟二人三年后的年龄和是 26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的 2倍．问，3 年后兄弟二人各几岁？分析 设 3年后哥哥年龄为 x岁，弟弟年龄为（26-x）岁．则今年哥哥年龄为（x-3）岁，弟弟年龄为（26-x-3）岁，兄弟二人的年龄差是（x-3）-（26-x-3）岁．列方程的等量关系是：弟弟今年的年龄=兄弟二人年龄差的 2倍．解：设 3年后哥哥 x岁，则弟弟 3年后的年龄是（26-x）岁．［（x-3）-（26-x-3）］×2＝26-x-3［2x-26］×2＝23-x4x-52=23-x5x＝75x＝1526-x＝26-15＝11答：3 年后哥哥年龄是 15岁，弟弟 11岁．习题一1．某工厂三个车间共有 180人，第二车间人数是第一车间人数的 3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少 1人．三个车间各有多少人？电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　88克？3．25 支铅笔分给甲、乙、丙三人．乙分到的比甲的一半多 3支，丙分到的比乙的一半多 3支．问：甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？4．甲、乙共有图书 63册，乙、丙共有图书 77册．三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的 2倍．问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？5．体育用品商店购进 50个足球、40 个篮球，共 3000元．零售时足球加价9％，篮球加价 11％，全部卖出后获利润 298元．问：每个足球、篮球进价各多少元？6．王虎用 1元钱买了油菜籽、西红柿籽和萝卜籽共 100包．油菜籽 3分钱一包，西红柿籽 4分钱一包，萝卜籽 1分钱 7包．问王虎买进油菜籽、西红柿籽和萝卜籽各多少包？DAAN习题一解答1．解：设第一车间有 x人，则第二车间有（3x＋1）人，第三车间有答：第一车间有 40人，第二车间有 121人，第三车间有 19人．电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　992．解：设甲容器原有溶液 x克，乙容器原有溶液（2600-x）克．答：甲容器原有溶液 1600克，乙容器原有溶液 1000克．3．提示：设甲有 x支，乙分到的比甲的一半多 3支，则乙有+3]支．答：甲、乙、丙各分得铅笔 10支、8 支、7 支．4．提示：这道题要先推理后列方程．关键是分析出甲、乙、丙三人中谁最多、谁最少．依题意：甲+乙=63，乙+丙=77，两式相减得丙-甲=14．题目中还给出图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的 2倍，也即它们的于甲，知丙不是最少．若丙最多，甲最少．设丙有图书 x册，则由条件有：电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1010求出乙为 49本，这样显然丙不是最多，也不是最少．因此，乙最大，甲最小．解：设甲有图书 x册，则乙有图书 2x册x+2x＝63x=212x=4277-42=35．答：甲有图书 21册，乙有图书 42册，丙有图书 35册．5．解：设每个足球进价 x元，每个篮球进价 y元．由（1）得 5x+4y=300 （3）由（2）得 45x+44y=2980 （4）用（4）-（3）×9 得8y=280∴ y＝35．把 y=35代入（3）得5x+4×35=300∴ x=32．答：每个足球进价 32元，每个篮球进价 35元．6．解：设买回油菜籽 x包，西红柿籽 y包，则萝卜籽为（100-x-y）包．电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　111120的倍数．当 y=20时，x=3，100-x-y=77．当 y≥40 时，x 是负数，不合题意．所以只能有一组解．答：王虎买油菜籽 3包，西红柿籽 20包，萝卜籽 77包．第二讲 关于取整计算在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用 5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布 2米，求这块布料们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收．所以数学上引进了符号〔 〕，使我们的表述简明．[a] 表示不超过 a的最大整数，称为 a的整数部分．[a] 显然有以下性质：①[a] 是整数；电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1212②[x]≤x；③x＜[x]+1；④若 b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；若 b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．请你自己举些例子验证前三条性质．性质④举例：a 取 2.7，则〔a〕=2．若 b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕．若 b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；若 b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1．〔a〕还有许多性质．例：若 n是整数，则有：〔a+n〕=〔a〕+n．与〔a〕相关的是数 a的小数部分，我们用符号{a}表示．显然，a=〔a〕+{a}，而且 0≤{a}＜1．下面我们应用取整符号〔〕解题．例 1 判断正误：若 2x+3〔x〕=1．则{x}=0．解：不正确．假设 {x}＝0，则：［x］=x．原式为：2〔x〕＋3〔x〕=1，5［x］=1，电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1313例 2 求 1～1993 中可被 2或 3或 5整除的整数的个数．多了，因为有些数被重复计算了．例如 6及其倍数，既是 2的倍数，又是 3的倍数，被计算了两次．同理，重复计算两次的数还有 10及它的倍数和 15步还要考虑 30及它的倍数，它们既是 2、3 与 5的公倍数，也是 6、10 与 15的公倍数．开始计算了三次，后来又减去了三次，所以要补上．解：合题意的数有：　分析 加法运算中常用高斯求和法简算．求[x]的基本方法是根据定义 x=[x]+{x}．要善于观察特殊值．电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1414在 0至 2之间的整数只有 1．例 4 求满足方程〔x〕+［2x〕=19 的 x的值．分析 解这道题的关键是由 x=〔x〕+{x}求 2x的整数部分和小数部分．解：因为 x=[x]+{x}，则 2x=2[x]+2{x}．〔2x〕=［2[x]+2{x}］=2[x]+［2{x}］．因 0≤{x}＜1，∴0≤2{x}＜2．现在对{x}分段来讨论：0≤2｛x｝＜1，这时〔2x〕=2［X］，电子书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1515此时无解．这时〔2x〕=2〔x〕+1，原方程化为：3[x]+1=19，∴ 3[x]＝18，∴ [x]=6．说明：此题运用了适当分类讨论的数学思想．例 5 问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？分析 首先要考虑由已知条件我们能推出什么？② 可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同．④ 考虑利用公式（a＋b） 2=。