《3.4基本不等式》课件.ppt
25页1、3.4 基本不等式:,学科网,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去像 一个风车,代表中国人民 热情好客,2020/9/6,中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。,赵爽:弦图,1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗?,探究点1 探究基本不等式,则正方形ABCD的面积 是_, 这4个直角三角形的面积之和是_,,设AE=a,BE=b,a2+b2,2ab,Z.x.x. K,有可能相等吗?又什么时候取等于号呢?,2020/9/6,重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有,当且仅当a=b时,等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,一般地,对于任意实数a,b,我们有,当且仅当a=b时,等号成立.,2.你能给出它的证明吗?,可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.,叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数
2、.,基本不等式,如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD, 则CD=, 半径为.,CD小于或等于圆的半径,上述不等式当且仅当点C与圆心重合,即当a=b时,等号成立.,几何意义:半径不小于半弦,o,3、几何解释,a,b,2020/9/6,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较:,注意从不同角度认识基本不等式,2020/9/6,构造条件,二、应用,例1、若 ,求 的最小值.,变3:若 ,求 的最小值.,变1:若 求 的最小值,变2:若 ,求 的最小值.,发现运算结构,应用不等式,问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗?,2020/9/6,三、应用,例2、已知 ,求函数 的最大值.,变式:已知 ,求函数 的最大值.,发现运算结构,应用不等式,2020/9/6,均值定理:,已知x,y都是正数,(1)如果积xy是定值P,那么 当x=y时,和x+y有最小值 ;(2)如果和x+y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,条件说明:,1、函数
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