二重极限与二次极限与一次极限的比较
3页1、二重极限与二次极限与一次极限的比较如果二重极限是limxaybf(x,y),二次极限分别为limxalimybf(x,y)=limxag(x),和limyblimxaf(x,y)=limxah(y).其中,gx=limybf(x,y),hy=limxaf(x,y), a, b是常数。则二重极限limxaybf(x,y)存在,意味着,当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)时,f(x,y)的极限都存在。换句话说,若二重极限limxaybf(x,y) 存在,则,2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时,f(x,y)的极限都存在。二次极限limxalimybf(x,y)=limxag(x)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)也就是(x,y)-(x,b),然后再沿直线y=b逼近(a,b)时也就是(x,b)-(a,b),f(x,y)的极限存在。换句话说,若二次极限limxalimybf(x,y)=limxag(x)存在,则2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时,f(
2、x,y)的极限存在。二次极限limyblimxaf(x,y)=limxah(y)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)也就是(x,y)-(a,y),然后再沿直线x=a逼近(a,b)时也就是(a,y)-(a,b),f(x,y)的极限存在。换句话说,若二次极限 limyblimxaf(x,y)=limxah(y)存在,则,2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时,f(x,y)的极限存在。这样,1),若二重极限 limxaybf(x,y) 存在且等于A, 则二次极限limxalimybf(x,y)和 limyblimxaf(x,y) 一定都存在且都等于A.比如,limx0y0xy=0, 而且,显然 limx0limy0(xy) 和 limy0limx0(xy)也都存在,且都等于0。2), 若二次极限limxalimybf(x,y) 或者limyblimxaf(x,y) 中至少有1个不存在,则,若二重极限 limxaybf(x,y) 一定不存在。比如,limx0limy0yx=0, 但limy0l
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