二重极限与二次极限与一次极限的比较
二重极限与二次极限与一次极限的比较如果二重极限是limxaybf(x,y),二次极限分别为limxalimybf(x,y)=limxag(x),和limyblimxaf(x,y)=limxah(y).其中，gx=limybf(x,y),hy=limxaf(x,y), a, b是常数。则二重极限limxaybf(x,y)存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限limxaybf(x,y) 存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。二次极限limxalimybf(x,y)=limxag(x)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)也就是(x,y)->(x,b),然后再沿直线y=b逼近(a,b)时也就是(x,b)->(a,b)，f(x,y)的极限存在。换句话说，若二次极限limxalimybf(x,y)=limxag(x)存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。二次极限limyblimxaf(x,y)=limxah(y)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)也就是(x,y)->(a,y),然后再沿直线x=a逼近(a,b)时也就是(a,y)->(a,b)，f(x,y)的极限存在。换句话说，若二次极限 limyblimxaf(x,y)=limxah(y)存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，1),若二重极限 limxaybf(x,y) 存在且等于A, 则二次极限limxalimybf(x,y)和 limyblimxaf(x,y) 一定都存在且都等于A.比如，limx0y0xy=0, 而且，显然 limx0limy0(xy) 和 limy0limx0(xy)也都存在，且都等于0。2), 若二次极限limxalimybf(x,y) 或者limyblimxaf(x,y) 中至少有1个不存在，则，若二重极限 limxaybf(x,y) 一定不存在。比如，limx0limy0yx=0, 但limy0limx0yx不存在。则limx0y0yx一定不存在。 3), 若二次极限limxalimybf(x,y) 和limyblimxaf(x,y)都存在但不等于，则，若二重极限 limxaybf(x,y) 一定不存在。再如，limx0limy0y(x+1)x+y=0, limy0limx0y(x+1)x+y=1。则 limx0y0y(x+1)x+y=0 一定不存在。 4), 即使二次极限limxalimybf(x,y)和limyblimxaf(x,y)都存在且等于，也不能保证，二重极限limxaybf(x,y)一定存在。比如，limx0limy0xyx2+y2=0, limy0limx0xyx2+y2=0。但limx0y0xyx2+y2不存在。 因为，如果limx0y0xyx2+y2 存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，xyx2+y2)恒等于1/2,不等于0。所以，limx0y0xyx2+y2一定不存在。其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。比较一：二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。比较二：二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.首先二重极限显然是存在的,(x,y)->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.但是若先求y的累次极限limy->0 xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限limx->0 xsin(1/xy)是存在的.比较三：二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。比较四：二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一定存在。一元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左右极限。只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近左极限和从右边逼近右极限。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。 但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式（只要判断左右极限）来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。 反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。 最后，以上讨论当 a,b,A中包含有无穷大时，也有类似的结论。
