FFT变换的意义
8页1、图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平 面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图 像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在 实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则 其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是 将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶 变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转 换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布 函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布 函数变换为灰度分布函数。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就 可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际 图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小), 反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界 分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出 图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到
2、圆心除 了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出 有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频 到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对 称分布的亮点集合,这个集合的,这时可以很直观的通过在该位置放 置带阻滤波器消除干扰。另外我还想说明以下几就是干扰噪音产生点:八、1、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明: 若变换矩阵 Fn 原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵 的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设 在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由 二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频 区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中 间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。从计算机处理精度上就不难理解,一个长度为的信号,最多只能 有 N/2+1 个不同频率,再多的频率就超过了计算机所能所处理的精 度范围)X数组又分两种,一种是表示余弦波的不同频率幅度值:ReX,另 一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X,R
3、e是实数(Real)的意思, Im是虚数(Imagine)的意思,采用复数的表示方法把正余弦波组合起来 进行表示,但这里我们不考虑复数的其 它作用,只记住是一种组合方法而已,目的是为了便于表达(在后面我们会知道,复数形式的傅立叶变换长度是N,而不是N/2+1)。用 Matlab 实现快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。 有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后 就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另 外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经 常用的。虽然很多人都知道 FFT 是什么,可以用来做什么,怎么去做,但 是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟 信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们, 采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此啰嗦了。 采样得 到的数字信号,就可以做 FFT 变换了。 N 个采样点,经过 FFT 之后, 就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进
4、行FFT运算,通常N取2 的整数次方。假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后 结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点 的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么 关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了 第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是 直流分量,它的模值就是直流分量的 N 倍。 而每个点的相位呢,就 是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即OHz),而 最后一个点 N 的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设 的 第 N+1 个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到 最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每 个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。 由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采 样率采样 1024 点,刚好是 1 秒,也就是说,采样 1 秒时间的信号并 做FFT,则结果可以分析到
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