FFT变换的意义

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平 面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图 像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在 实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则 其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是 将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶 变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转 换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布 函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布 函数变换为灰度分布函数。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就 可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际 图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）， 反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界 分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出 图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除 了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出 有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频 到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对 称分布的亮点集合，这个集合的，这时可以很直观的通过在该位置放 置带阻滤波器消除干扰。另外我还想说明以下几就是干扰噪音产生点：八、1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵 Fn 原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵 的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设 在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由 二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频 区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中 间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为的信号，最多只能 有 N/2+1 个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精 度范围）X数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：ReX,另 一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X，Re是实数（Real）的意思, Im是虚数（Imagine）的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来 进行表示，但这里我们不考虑复数的其 它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N,而不是N/2+1）。用 Matlab 实现快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。 有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后 就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另 外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经 常用的。虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但 是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟 信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们， 采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。 采样得 到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。 N 个采样点，经过 FFT 之后， 就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2 的整数次方。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后 结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点 的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么 关系呢？假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了 第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是 直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。 而每个点的相位呢，就 是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即OHz),而 最后一个点 N 的再下一个点(实际上这个点是不存在的，这里是假设 的 第 N+1 个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到 最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份，每 个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。 由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采 样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就是说，采样 1 秒时间的信号并 做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT， 则结果可以分析到05Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样 点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设 FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是 An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)o根据以上的结果，就可 以 计算出n点(n工1，且n<=N/2)对应的信号的表达式为： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即 2*An /N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于 n=1 点的信号，是直流分量，幅度即为A1/No由于FFT结果的对称性， 通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号， 以及一个频率(f0)为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信 号 。 用 数 学 表 达 式 就 是 如 下 ： S=2+3*cos(2*pi*50*t- pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中 cos 参数为弧度，所 以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信 号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N， 我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是 n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个 点、第 51 个点、第 76 个点上出现峰值，其它各 点应该接近 0。实 际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。图1 FFT结果从图中我们可以看到，在第 1 点、第 51 点和第 76 点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：1 点： 512+0i2 点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51点： 332.55 - 192i52点: -1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 点: -2.2199E-13 -1.0076E-12i76 点: 3.4315E-12 + 192i77 点: -3.0263E-14 +7.5609E-13i很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小， 可以认为是 0，即在那些频率点上的信号幅度为 0。接着，我们来 计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下:1 点: 51251 点: 38476 点: 192按照公式，可以计算出直流分量为: 512/N=512/256=2；50Hz 信号 的 幅度 为: 384/(N/2)=384/(256/2)=3 ；75Hz 信号 的幅 度 为 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确 的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计 算 50Hz 信号的相位， atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换 算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相 位, atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708 弧 度 ， 换 算 成 角 度 就 是 180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及 上面的 分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们 开始提供的信号。总结：假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后，某一点n(n从1开始)表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2 就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N)；该点 的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数 atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi 到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。 要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中 是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法 有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短 时间的信号，然后 在后面补充一定数量的 0，使其长度达到需要的点数，再做 FFT， 这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相 关文献.PS:这里解释下前面讲的假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的 每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是 A 的 N/2 倍。而 第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。这句话应 该仅仅对sin, cos函数有效吧。如果时域上为x(n)=1,0<=n<=6淇他n 均为 0，16 点 fft 显然不满足这个条件。而对于 cos 函数,拿他举得例子看 S(n)=2+3*cos(2*pi*50*n- pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*n+pi*90/180)以 256Hz 的采样率对这个信 号进行采样,总共采样256 点。按照我们上面的分析, Fn=(n-1)*Fs/N, 我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是 n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1 个点、第 51 个点、第 76 个点上出现峰值，其它各点应该接近0 。实 际情况如何呢？ 更具 DFT 的公式:因为采样频率为 256hz， 所以 x(n)=s(n/256)=2+3*cos(2*pi*50*n/256-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*n/ 256+pi*90/180)将x(n)带入，化简得：最后利用正交原理，当 k=0 时，后面两项都等于 0， X(0)=2*256=512；当k=50，第一和第三项为0,中间不为0, X(50)=3*1/2*256*e(-j*n/6),模值 |X(50)|=384;当 K=75，同理，模值|X(75)|=192;(matlab中下标是从1开始的，所以K的取值向后延一位，即K=1,51,76) 这与实验出来的结果是一致的