北师大版八年级下数学知识点归纳总结.doc

八年级下册第一章 三角形的证明第1节等腰三角形一、 全等三角形的性质与判定1、 全等三角形的性质定理1全等三角形的对应边相等定理2全等三角形的对应角相等推论1全等三角形的面积相等推论2全等三角形的周长相等2、 全等三角形的判定公理1两边夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS）公理2两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ ASA）公理3三边对应相等的两个三角形全等（ SSS）定理1两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（ AAS）定理2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （HL）二、 等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）推论1等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 （三线合一）推论2等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们 的交点到底边两端点距离相等说明】 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°② 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角③ 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a,底边长为b，周长为C,则-v av C2 2④ 等腰三角形的三角关系： 设顶角为/ C,底角为/ A、/ B,则/ C= 180° — 2/A=180° — 2/ B，/ A - B = 180 A22、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1等边三角形的三条边都相等定理2等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°那么它所对直角边等于斜边一半2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形推论：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形四、反证法小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等， 那么这两个角所对的边也不相等你小明是这样想的:认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？如圈1-1-18 ,在氐KRC中.已 知此时虫占与/C婆 么相等，塵么不杓零.这与已知条件/B#/C相乎臥 囲此AB^AC,假设AB=AC?那么根据"等 边对等角杯定理可得zc=z^t你能理解他的推理过程吗？基本事实、已有反证法小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、 定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法叫做第2节 直角三角形一、直角三角形的性质与判定1直角三角形的性质定理1直角三角形的两个锐角互余。

（角的特征）定理2:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 （勾股定理）（边的特征）2、直角三角形的判定定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形定理1有两个角互余的三角形是直角三角形定理2:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形二、已知一条直角边和斜边作直角三角形1尺规作图已知：如图1-2-16所示，线段a, c （av c）,直角求作：Rt △ ABC，使/ C= Z a, BC = a, AB = c作法：2、直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （HL ）三、互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 相对于逆命题来说，另一个 命题就为原命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题， 那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理其中一个定理称为另一个定理的逆定理相对于逆定理来说，另一个命题就为原定理第3节线段的垂直平分线一、线段的垂直平分线1性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2、 判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、 三角形三条边的中垂线性质定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等二、已知底边及底边上的高作等腰三角形aAf已知：如图1-3-11（ 1）所示，线段a、h. A求作：△ ABC，使 AB = AC , BC = a,高 AD = h—— i\\作法：①作线段BC = a;\②作线段BC的垂直平分线 MN交BC于D点； 色 \D C③在MN上截取线段 DA，使DA = h;图 1-3-11(2)④连接AB、AC,则厶ABC就是所求作的三角形（如图 1-3-11（ 2）所示）三、过一点作已知直线的垂线1、过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线I和I上一点P,求作：直线I的垂线，使它经过点 P作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线I于点A和点B;②作线段AB的垂直平分线 MN，则直线MN垂直于直线I，且经过点P如图1-3-12所示）2、过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线I和直线I外一点P求作：直线I的垂线，使它经过点 P作法：①任取一点K，使点K与点P分居直线I的两侧；② 以点P为圆心，PK长为半径作弧，交直线I于点A和点B ；③ 作线段AB的垂直平分线 MN，则直线 MN垂直于直线I，且经过点P。

如图1-3-13所示）圏 1-3 L2第4节角平分线一、角平分线1、 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2、 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上3、 三角形三个内角的平分线性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三角形的分类三边垂直平分线三个内角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点直角三角形交于三角形外一点钝角三角形交于斜边的中点交点性质至U三个顶点的距离相等到三条边的距离相等、用尺规作一个角的平分线（回顾）已知：/ AOB求作：射线 OC,使/ AOC = Z BOC作法：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧,于点D，交OB于点E ;1② 分别以点D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在/ AOB的内2部交于点P;③ 过点P作射线 OC,则/AOC = Z BOC，即卩OC是/ AOB的平分线第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第1节不等关系一、不等式的概念一般地，用符号“v” （或“w”），“〉”（或“》”）连接的式子叫做 不等式。

需要说明 的是，用“工”连接的式子也是 不等式说明】“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号W”表示；“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号表示不等式的分类1、 绝对不等式：在任何条件下都成立的不等式如2、 矛盾不等式：在任何条件下都不成立的不等式如3、 条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式如立；当xw 2时不等式不成立三、常见的不等式基本语言的含义1、若x > 0，则x是正数3、若x > 0，则x是非负数5、若x — y >0,则x大于y7、若x — y > 0,则x不小于yx9、若 xy > 0 （或一 > 0）,贝V x、y 同号;y5>3, x2》0, |y| >— 1 等2>3, a2v 0 等x— 2 > 0，当x > 2时不等式成2、若xv 0，则x是负数4、若xw 0，则x是非正数6、若x — yv 0，则x小于y8、若x — yw 0，则x不大于yx10、若 xy v 0 （或 一 v 0），贝y x、y 异号y第2节不等式的基本性质1、文字叙述不等式的基本性质不等式的基本性质不等式的基本性质、不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变2、字母表示不等式的基本性质 1 ：如果a> b，那么a± c> b± c;如果av b，那么a ± cv b± ca b不等式的基本性质 2 :如果a> b， c>0，那么ac> bc， > —c ca b如果 av b， c> 0，那么 acv bc， v -c ca b不等式的基本性质 3:如果a> b, cv 0,那么acv be, v —c c如果 a v b, cv 0，那么 ac> bc, a > -c c二、 不等式的其他性质1、 如果a> b,那么bv a;如果avb，那么b>a （对称性）2、 如果a> b, b> c,那么a> c;如果av b, bv c,那么av c;（传递性）3、 如果 a>b, c> d,那么 a+ c>b+ d;如果 av b, cv d,那么 a+ cv b + d;4、 如果 a> b> 0, c>d >0，那么 ac> bd;如果 a> b>0, cv d v 0,那么 acvbd;5、 如果 av bv0, c>d>0，那么 acv bd;如果 av bv0, cv d v0，那么 ac>bd;6、 如果 a > b> 0,那么 |a|> |b|;如果 a v bv 0,那么 |a|> |b|;7、 如果a > b> 0,那么an > bn （n为正整数）;8、 如果av bv 0,那么a v b （n为正奇数）;如果a v bv 0,那么an > bn （n为正偶数）;三、 不等式的三个基本性质与等式的两个基本性质比较1、 相同点：不管是等式还是不等式，在它们的两边都加（或减）同一个数或同一个整式， 结果仍然成立。

2、 不同点：对于等式来说，在等式的两边都乘（或除以）同一个正数（或负数） ，等式仍然 成立；但对于不等式来说， 在不等式的两边都乘 （或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 而在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向第3节不等式的解集一、 不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 女口，6是不等式x>5的解，7, 8, 9,10也是不等式x> 5的解说明】不等式的解可能是有限个，也可能是无限个，还可能不存在，即无解例如，不等2 4式x切的解只有一个为 x= 0,不等式x — 2>1的解有无数个，而不等式 x v 0无解二、 不等式的解集1、 定义一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的 解集例如，不等式x + 1>5的解集是x> 4,不等式x2 > 0的解集是x丰0,不等式x2 v 0的解集是空集2、 表示方法（1） 用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解， 它的解集是某个范围，这个范围可以用一个简单的不等式 x> a （x^a）或x v a （x