高等数学第四册数学物理方法.doc

第一章 复数与复变函数（1）1.计算3.设试用三角形式表示及解：11.设三点适合条件及试证明是一个内接于单位圆的正三角形的顶点证明：所组成的三角形为正三角形为以为圆心，1为半径的圆上的三点即是内接于单位圆的正三角形 17.证明：三角形内角和等于证明：有复数的性质得：Z3yoZ1Z2x 第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程解:由题意,所以有;;所以;;;;.12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？解：此图形表示一条直线，它不是区域解：即此图形为的区域解：此图形为的区域解：此图形表示区间辐角在的部分解：表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域解：它表示虚部大于小于等于的一个带形区域解：此图形表示两圆的外部解：，，它表示两相切圆半径为的外部区域解：此图形表示半径为2的圆的内部，且的部分，它是区域解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分，它是区域第二章 解析函数（1）4.若函数在区域D上解析，并满足下列的条件，证明必为常数.证明：因为在区域上解析，所以由复数相等的定义得：，所以，(常数) ，(常数)，即为常数5 .证明函数在平面上解析，并求出其导数1）证明：设=则，；； 满足。

即函数在平面上可微且满足条件，故函数在平面上解析8．由已知条件求解析函数， ，解：， 所以即是平面上调和函数由于函数解析，根据条件得，于是，,其中是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得=，所以，即于是又因为，所以当，时，得所以第二章 解析函数（2）12.设是的解析函数，证明， 证明：是z上的解析函数，所以，在上处处可微，即，，所以，，所以，同理，，所以，即得所证14.若，试证：（1）证：==18.解方程解：，即，设，得，即20.试求及解：，22，求证证: (x,y,均为实数)，所以当则极限趋近于z轴，有当时，则极限趋于z轴，有，故第三章 柯西定理 柯西积分（1）1.计算积分积分路径是直线段解：令，则：2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆解：，，则，5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆1），（2），（3），解：（1）因为函数在单位圆所围的区域内解析，所以2）因为函数在单位圆内解析，所以3）6.计算，，，7.由积分之值，证明，其中取单位圆证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，，，比较可得：，第三章 柯西定理 柯西积分（2）8.计算：（1）。

解： 10.设表圆周，，求解：设，它在复平面内解析，故当时，则由哥西积分公式有，所以11.求积分从而证明：解：由于，函数在处不解析，令，则，故，所以，即13.设，利用本章例5验证哥西积分公式以及哥西求导公式提示：把写成证明：设，则式的右边为可写为： 由哥西积分定理有：，所以右边，即 左边=右边再由式子可知当时，，成立假设当时，等式成立则当时，成立14.求积分（1），（2），其中解：（1）被积函数有奇点，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有：第四章 解析函数的幂级数表示（1）2.将下列函数展为含的幂级数，并指明展式成立的范围：（1），（2），（3），（4）, (5)(6)，（1）解：原式= （2）解：原式= |z|<∞（3）解：原式= |z|<∞（4）解：原式= |z|<∞（5）解：原式= |z|<∞（6）解；原式= |z|<14．写出的幂级数至少含项为止，其中解：，两式相乘得5．将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围：（1）， （2），（3）， （4），解：（1）原式= （2）原式= （3） （4）解：原式 6．设，证明，指出此级数展式之前5项，并指出收敛范围。

解：（），）原式= 第四章 解析函数的幂级数表示（2）9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：（1）解：原式在内，上式在内，上式(2)，解：原式（3）解：原式（4），解：当时，原式=当时，原式=（5），10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：（1） ，其中解： （2） ，解：，11．把展成下列级数：（1）在上展成的泰勒级数解：， 2)在上展成的泰勒级数解；， (3)在上展成的泰勒级数解：原式， ||<1(4)在上展成的泰勒级数解：原式 12．把展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级数：（1），解：原式，（2）解：原式，（3）解：原式，（4）解：原式，（5）解：原式，（6）解：原式7）解：原式 第四章 解析函数的幂级数表示（3）13．确定下列各函数的孤立奇点，并指出他们是什么样的类型，对于无穷远点也要加以讨论：（1）解：孤立奇点为：，对于原式=Z为一阶极点，原式=为二阶极点，同理：也为二阶极点对，原式=，由于，即为可去奇点2）解：，为二阶极点即为可去极点3)解；，为一阶极点。

即为可去极点4)解：为本性极点即在无穷远点为可去极点5)解：z=0，即z=0时，有(m-1)阶极点，即无穷远点为可去极点6)解：，即无穷远点为可去极点7)解：，， (k=0,, )一阶极点，不存在，为本性极点8)解：，， ,一阶极点即可去极点9)解：，三阶极点，(10)解： ,,一阶极点，>不存在(11)解：，为本性奇点，即为可去奇点12)解：，一阶极点，可去奇点14.设分别以为阶极点，试问为的什么样的特点解；设 （1） (m+n)阶极点 （2） (3)所以当m≠n时 z=a为f+g的max{m,n}阶极点当m=n时 15.设，且以为解析点或极点，而以为本性奇点，证明是，，的本性奇点证明：设显然其中主要部分有无限项所以z=a是±f(z)+ (z)的本性奇点所以z=a是f(z)(z)及的本性奇点16．讨论下列函数在无穷远点的性质1)解： 二阶极点2)解：可去极点3)解：由上得：=±1 从而得：z=∞为本性奇点4)解： 可去奇点第五章 残数及其应用（1）1. 求下列函数在指定点处的残数.在解:当时，=,当时，.求时的残数，用残数和定理，即,,在解:由题可知,是本题的极点，将用罗朗展开得:=，求， 。

3)在.解:将原式用罗朗展开得：=，,根据残数和定理，.(4)在,解: 的奇点为1，将用罗朗展开式展开得：所以,,根据残数和定理得： 2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(是自然数).解:将式子用罗朗展开，当.当m为奇数时，残数为0，当为偶数时,,根据残数和定理,(2) 解：是函数的一阶极点当时，，解:本题是以为阶极点，以为其一阶极点.-根据残数和定理得:-+=0(4) 解:是以为二阶极点，根据残数定理和得:.解:用罗朗展开式展开得：本题以为一阶极点.=当时有解,则，，所以,根据残数和定理得：-解:本题以为其孤立齐点.解：本题以为奇点用罗朗展开式得：原式得：，所以解：本题以为阶极点所以=第五章 残数及其应用（2）3．计算下列积分解：用残数方法求，用罗朗展式展开，由上式可已看出没有符合残数要求的项，所以，即=0解：用残数方法求解，在有 二阶极点，i有一阶极点.(z+i) (3),,n为自然数解：分别以为其阶极点当为偶数时，=当为奇数时，=0（4）解：在围线内，有两个不解析点，， 即=（5）（6）解：本题以为其一阶极点 =即=-=-=4．求下列积分值1)(a>1)解:=由于分母有两个一阶极点:,,很明显只有所以只有符合题意，所以,即==(2) 解：原式等于=在时,只有的一个一阶极点.，所以,=2(3) (>0)解:原式===-令，则为其二阶极点.所以即=(a为是实数而且)解：=-=5．求下列个积分的值。

1）解：函数在上半平面有两个一阶极点：所以，=（2）解：函数在上半平面有一个二 阶极点所以，=（3）解：因为是偶函数所以=令=在上半平面有两个极点所以，=(4) (m>0,a>1)解：由于是偶函数，而且在上半平面只有两个一阶极点：同理，所以，=（5）解：=函数=在上半平面有两个一阶极点：而，即=第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为：，初速度为0，试求其付氏解，其中h为已知常数解：所求问题是一维波动方程的混合问题：，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：其中，，，于是所求傅氏解为：2.将前题之初始条件改为：，试求其傅氏解解：所求问题为一维波动方程的混合问题：3今有一弦，其两端和为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0初速度为，其中为常数，试求其傅氏解解：所求问题为一维波动方程的混合问题：４．今有一弦，其两端固定在和两处，在开始一瞬间，它的形状是一条以过点的铅垂线为对称抛物线，其顶点的纵坐标为h,假定没有初速度，试用付氏方法求弦的振动情况：解：设其抛物线方程为，将点代入得：，故方程为，即，所求问题为一维波动方程的混合问题，，５求解混合问题6.求解混合问题。

解：所求问题为一维波动方程的混合问题： 第八章 热传导方程的付氏解1.一根长为的枢轴，它的初温为常数，其两端的温度保持为0，试求在枢轴上温度的分布情况解：所求问题为热传导方程混合问题，其付氏解。