2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习动态几何的定值.doc

初中数学竞赛精品原则教程及练习(63)动态几何定值一、内容提纲1. 动态几何是指用运动观点研究几何图形位置、大小互有关系.用动观点看几何定理，常可把几种定理归为一类.　例如：① 梯形中位线，当梯形上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形中位线；② 两圆相交，两个公共点有关连心线对称，因此连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重叠时，则两圆相切，这时切点在连心线上；③ 相交弦定理由于交点位置、个数变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何轨迹、极值和定值.　几何图形按一定条件运动，有几何量伴随运动变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有量却一直保持不变，这就是定值问题.　例如：半径等于RA圆A与半径为RB　(RB>RA)　定圆B内切.那么：　动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA长为半径圆.　而A，B两点距离，却一直保持不变：AB=RB－RA.若另有一种半径为RC圆 C与圆B外切，则A，C两点距离变化有一定范围： RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA . 因此AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答动态几何定值问题措施，一般有两种： 第一种是分两步完毕 ：① 先探求定值.　它要用题中固有几何量体现.② 再证明它能成立.探求措施，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊位置，找出定值体现式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.二、例题例1.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PE＋PF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法.① 把点P放在BC中点上.　这时过点P垂线与AB，AC交点都是点A，PE＋PF＝2PA，从而可确定定值是底上高2倍.DAEBPCF因而原题可转化：求证：PA＋PB＝2AD　（AD为底边上高）.证明：∵AD∥PF，∴；　.　　　∴.BCFPA即.∴PE＋PF＝2AD.② 把点P放在点B上.　这时PE＝0，PF＝2AD（三角形中位线性质），结论与①相似.还可以由PF＝BC×tanC，把定值定为：BC×tanC.　　　　即求证PE＋PF＝BC×tanC.　（证明略）同一道题定值，可以有不一样体现式，只要是用题中固有几何量体现均可.例2.　已知：同心圆为O中，AB是大圆直径，点P在小圆上求证：PA2＋PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r.① 点P放在直径AB上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.② 点P放在与直径AB垂直另一条直径上也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.证明：　设∠POA＝α，根据余弦定理，得PA2＝R2＋r2－2RrCosα，　PB2＝R2＋r2－2RrCos(180－α).∵Cos(180－α)＝Cosα.∴PA2＋PB2＝2（R2＋r2）.本题一般懂得定值是用两个圆半径来体现，因此可省去探求定值环节，直接列出PA，PB与R,　r关系式，关键是引入参数α.例3.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析： 本题没有明显特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,　b,　c来体现，为便于计算引入参数t，用计算法证明.证明：设MP为t，则NP=a－t.∵MN∥BC，∴，　.即；∴=∵c 是定线段，∴是定值.即有定值.例4.　已知：在以AB为弦弓形劣弧上取一点M(不波及A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB有定值.分析：　⊙M是△ABC内切圆，∠AMB是以定线段AB为弦定弧所含圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=)，所求定值可用它来体现.证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180.由正弦定理，　∴Sin∠AMB=.∵弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R均有定值，∴∠AMB有定值.∴∠ACB有定值2∠AMB－180.三、练习631.　用固有元素体现下列各题中所求定值　(不写探求过程和证明)：①.等腰三角形底边上任一点到两腰距离和有定值是___________.②.等边三角形内任一点到三边距离和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.③.正n边形内任一点到各边距离和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A1A2A3A4A5各边，相交得五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它们度数和是________，延长凸n边形　(n≥5)各边相交，得n个角，它们度数和是___________.　　　　　　　　　　　⑤.两个定圆相交于A，B，通过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，则有定值是_____________.　　　⑥.在以AB为直径半圆内，任取一点P，AP，BP延长线分别交半圆于C，D，则AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　　　⑦.AB是定圆O任意一条弦，点P是劣弧AB上任一点(不含A和B)，PA，PB分别交AB中垂线于E，F.则OE×OF有定值是__________.2.　已知：点P是⊙O直径AB上任一点，过点P弦CD和AB相交所成锐角45.求证：PC2+PD2有定值.3.　已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC中点，点P在BC延长线上，PD⊥BA交BA延长线于D，PE⊥AC交AC延长线于E.求证：∠DOE是定角4.　已知：点P是线段AB外一点，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB垂心，C是AB中点.　　　　求证：CH+DH是定值.5.　已知：AB，CD是⊙O两条直径，点P是⊙O上任一点(不含A，B，C，D)..　　　　求证：点P在AB，CD射影之间距离是个定值.6.　通过∠XOY平分线上任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ倒数和是一种定值.7. △ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不一样点P1，P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿. 8.. 直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm速度移动.问时间t通过几秒时，①BCPQ为平行四边形？等腰梯形？②PQ与以AD为直径圆O相切？相离？相交？练习63参照答案：1　①腰上高.　　②一边上高或3r3 .　　　 ③　nrn. 　④ 180度，(n－4)180度.　⑤两圆半径比.　　⑥AB2 　　　⑦⊙O半径平方.2.　定值是AB平方二分之一，　证Rt△COM≌Rt△OBD，　OM=DN.3. 定值是直角，　以PA为直径圆通过A，O，E，P，D五点，　PE=AD，∠AOD=∠POE . 　　　 4.　定值是AB二分之一，证明 仿例3.5.　定值是⊙O半径与两直径夹角正弦积，证明仿例4.6. 定值是(∠xoy=2α)，证明 作AR∥OQ交Dx于R，.7. 4×100.。