投影的形成及常用的投影方法.ppt

2.1 投影的形成及常用的投影方法投影的形成及常用的投影方法2.2点、线、面的投影点、线、面的投影 2.3 几何元素的相对位置几何元素的相对位置2.4 换面法换面法2.5 体的投影及三视图体的投影及三视图2.6 平面体与回转体的截切平面体与回转体的截切2.7 两立体相交两立体相交返回返回2.2.1 点的投影点的投影2.2.2 直线的投影直线的投影2.2.3 平面的投影平面的投影点线面点线面返回返回2.6.1 平面立体的截切平面立体的截切2.6.2 回转体体的截切回转体体的截切截切截切返回返回2·1 投影的形成及常用的投影方法投影的形成及常用的投影方法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图返回返回下页下页中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响相对距离对投影的大小有影响度量性较差度量性较差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变返回返回下页下页上页上页平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。

投影大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制工程图样多数采用正投影法绘制投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法返回返回下页下页上页上页 Pb ●●AP采用多面投影采用多面投影 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影面上的投影B1●B2●B3● 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a ●2.2.1 2.2.1 点的投影点的投影解决办法？解决办法？返回返回下页下页上页上页HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面◆◆正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）◆◆水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）◆◆侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直返回返回下页下页上页上页WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。

小写字母表示a ●a●a ●A●ZY返回返回下页下页上页上页WVH●●●●XYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO ●●az●x返回返回下页下页上页上页●●●●XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:①① a a⊥⊥OX轴轴②② aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazay●●YZaza XYayOaaxaya ● a a ⊥⊥OZ轴轴返回返回下页下页上页上页●●a aax例：已知点的两个投影，求第三投影例：已知点的两个投影，求第三投影●a ●●a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45°线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa ●返回返回下页下页上页上页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。

位置关系判断方法：判断方法：▲ x 坐标大的在左坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前坐标大的在前▲ z 坐标大的在上坐标大的在上b aa  a b b●●●●●●B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下XYHYWZ返回返回下页下页上页上页四、重影点：四、重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点的重影点A、、C为为H面的重影点面的重影点●●●●●a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c返回返回下页下页上页上页aa a b b b●●●●●●2.2.22.2.2直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影就得到直线的同名投影⒈⒈ 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积　聚　性积　聚　性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●返回返回下页下页上页上页⒉ ⒉ 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面返回返回下页下页上页上页b a aba b b aa b ba ⑴⑴ 投影面平行线投影面平行线①① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。

并反映直线与另两投影面倾角的实大②② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线γ投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:α 与与V面的角面的角:β与与W面的夹角面的夹角: γ实长实长实长实长实长实长βγααβba aa b b 返回返回下页下页上页上页 反映线段实长且垂直反映线段实长且垂直于相应的投影轴于相应的投影轴⑵ ⑵ 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线②② 另外两个投影另外两个投影，①① 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性投影特性投影特性: :●c (d )cdd c ●a b a(b)a b ●e f efe (f )返回返回下页下页上页上页⑶ ⑶ 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性： 三个投影都缩短三个投影都缩短即即: 都不反映空间线都不反映空间线段的实长及与三个投影段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。

根投影轴都倾斜abb a b a 返回返回下页下页上页上页二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 ◆◆ 若点在直线上若点在直线上, 则则点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上并将线段的名投影上并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例即：相同的比例即：　　 ◆◆若点的投影有一个不若点的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上， 则则该点必不在此直线上该点必不在此直线上判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb= a c  / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理返回返回下页下页上页上页点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否段是否段AB上abca b c ①①c ②②abca b ●点点C在直在直线线AB上上返回返回下页下页上页上页例例2：判断点：判断点K是否段是否段AB上a b ●k 因因k 不在不在a  b 上，上， 故点故点K不在不在AB上应用定比定理应用定比定理abka b k ●●另一判断法另一判断法?返回返回下页下页上页上页三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、、相交相交、、交叉交叉。

⒈⒈ 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然aVHc bcdABCDb d a 返回返回下页下页上页上页abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行两直线就平行AB//CD①①返回返回下页下页上页上页b d c a cbadd b a c  对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行例例2：判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行②②求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？返回返回下页下页上页上页HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk ⒉ ⒉ 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律影规律。

交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点返回返回下页下页上页上页●●cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交先作正面投影先作正面投影返回返回下页下页上页上页d b a abcdc1 (2  )3(4 )⒊ ⒊ 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性：：★★ 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律★★ “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置的空间位置●●Ⅰ、、Ⅱ是Ｖ面的重影点，是Ｖ面的重影点，Ⅲ、、Ⅳ是是H面的重影点面的重影点为什么？为什么？12●●3  4 ●●两直线相交吗？两直线相交吗？返回返回下页下页上页上页⒋ ⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角上的投影仍为直角设设 直角边直角边BC//H面面因因 BC⊥⊥AB, 同时同时BC⊥⊥Bb所以所以 BC⊥⊥ABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 ∠∠abc为直角为直角因此因此 bc⊥⊥ab故故 bc ⊥⊥ABba平面平面又因又因 BC∥∥bcABCabcHa c b abc.证明：证明：返回返回下页下页上页上页d abca b c ● ●d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。

垂直相交AB为正平线为正平线, 正面投影反映直正面投影反映直角返回返回下页下页上页上页 小小 结结  ★★点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直线的投影特性直线的投影特性 ★★点与直线及两直线的相对位置的判断方点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性法及投影特性 ★★定比定理定比定理 ★★直角定理，即两直线垂直时的投影特性直角定理，即两直线垂直时的投影特性重点掌握：重点掌握：返回返回下页下页上页上页一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO ●●●xa za①① a a⊥⊥OX轴轴②② aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a ⊥⊥OZ轴轴返回返回下页下页上页上页二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性⒈⒈ 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。

三个投影与各投影轴都倾斜⒉⒉ 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相应的投影轴应的投影轴⒊⒊ 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴返回返回下页下页上页上页三、直线上的点三、直线上的点⒈⒈ 点的投影在直线的同名投影上点的投影在直线的同名投影上⒉⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比——定比定理定比定理四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置⒈⒈ 平行平行⒉⒉ 相交相交⒊⒊ 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行同名投影互相平行 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。

间一个点的投影规律交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影对重影点的投影返回返回下页下页上页上页五、相互垂直的两直线的投影特性五、相互垂直的两直线的投影特性⒈⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角投影面上的投影反映直角⒉⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角在该投影面上的投影反映直角⒊⒊ 两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角反映直角直角定理直角定理返回返回下页下页上页上页2.2.3 2.2.3 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法●●●●●●abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点●●●●●●abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c ●●●●●●d●d ●两平行直两平行直线线abca b c ●●●●●●两相交两相交直线直线●●●●●●abca b c 平面平面图形图形返回返回下页下页上页上页二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性★★ 平面平行投影面平面平行投影面-----投影就把实形现投影就把实形现★★ 平面垂直投影面平面垂直投影面-----投影积聚成直投影积聚成直线线　　★★ 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-----投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性⒈⒈ 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性返回返回下页下页上页上页⒉ ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面返回返回下页下页上页上页abca c b c b a ⒈ ⒈ 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线与投影轴的夹角反映空间平面线该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性另外两个投影面上的投影有类似性为什么？为什么？γβ是什么位置是什么位置的平面？的平面？返回返回下页下页上页上页a b c a b c abc⒉ ⒉ 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线的投影轴平行的直线返回返回下页下页上页上页a b c a c b abc⒊ ⒊ 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似三个投影都类似投影特性：投影特性：返回返回下页下页上页上页三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。

此直线在该平面内⒈⒈ 平面上取任意直线平面上取任意直线返回返回下页下页上页上页abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线在平面内任作一条直线解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解有无数解返回返回下页下页上页上页例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mmn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？返回返回下页下页上页上页⒉⒉ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影点的水平投影b①①acc a k b ●k● 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线②②●abca b k c d k●d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解返回返回下页下页上页上页bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。

的水平投影解法一解法一解法二解法二返回返回下页下页上页上页2.3 几何元素的相对位置几何元素的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、、相交相交和和垂直一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括⒈⒈ 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行线，则该直线与此平面必相互平行返回返回下页下页上页上页n ●●a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC有无数解有无数解有多少解？有多少解？返回返回下页下页上页上页正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABCc ●●b a m abcmn唯一解唯一解n 返回返回下页下页上页上页⒉⒉ 两平面平行两平面平行①① 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。

平行②② 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行必相互平行f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef返回返回下页下页上页上页二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交⒈⒈ 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点面的共有点要讨论的问题：要讨论的问题：● 求求直线与平面的直线与平面的交点 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性 我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况处于特殊位置的情况返回返回下页下页上页上页abcmnc n b a m ⑴⑴ 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性并判别可见性空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。

点的水平投影①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见还可通过重影点判别可见性还可通过重影点判别可见性k ●1 (2 )作作 图图k●●2●1●返回返回下页下页上页上页km(n)b●m n c b a ac⑵⑵ 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上在该点上①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性 点点Ⅰ位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点Ⅱ位于位于MN上，在上，在后故k  2 为不可见为不可见1 (2 )k ●2●1●●作图作图用面上取点法用面上取点法返回返回下页下页上页上页⒉⒉ 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。

共有点要讨论的问题：要讨论的问题：①① 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： ⑴⑴ 确定两平面的确定两平面的两个共有点两个共有点⑵⑵ 确定确定一个共有点及交线的方向一个共有点及交线的方向 只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况殊位置的情况②② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性判别可见性返回返回下页下页上页上页可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别直观地进行判别abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线影都积聚成直线交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影交线的投影①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见在上，其水平投影可见。

n●m●●能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性并判别可见性⑴⑴返回返回下页下页上页上页b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性正面投影有积聚性a b 与与e f 的交点的交点m  、、 b  c 与与f  h 的交点的交点n 即为两个共有点的即为两个共有点的正面投影，故正面投影，故m n 即即MN的的正面投影正面投影①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性点点Ⅰ在在FH上，点上，点Ⅱ在在BC上，上，点点Ⅰ在上，点在上，点Ⅱ在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见作作 图图m●●n ●2 ●n●m ●1 ●⑵⑵返回返回下页下页上页上页c d e f a b abcdef⑶⑶投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于Δdef的外面，说的外面，说明点明点N位于位于ΔDEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于ΔDEF这个图形内。

这个图形内 所以所以ΔABC和和ΔDEF的交线应为的交线应为MKn●n ●m ●k●m●k ●互交互交返回返回下页下页上页上页 小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点二、如何在平面上确定直线和点三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行两组相交直线对应平行四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线两者的共有点或共有线解题思路：解题思路：★★空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影目的是找出交点或交线的已知投影★★判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别如何利用重影点判别一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性投影特性返回返回下页下页上页上页要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈⒈ 一般位置平面一般位置平面⒉⒉ 投影面垂直面投影面垂直面⒊⒊ 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形——类似性类似性。

在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性积聚性另外两个投影类似另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性实形性 另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线 返回返回下页下页上页上页二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线⒈⒈ 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上⒉⒉ 平面上的直线平面上的直线⑴⑴ 过平面上的两个点过平面上的两个点 ⑵⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线三、平行问题三、平行问题⒈⒈ 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线直线平行于平面内的一条直线⒉⒉ 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。

于另一个平面上的一对相交直线返回返回下页下页上页上页四、相交问题四、相交问题⒈⒈ 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法⑴⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解交点的共有性和平面的积聚性直接求解⑵⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解取点的方法求解⒉⒉ 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法⑴⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影的投影特性画出交线的投影⑵⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线有点，求出交线返回返回下页下页上页上页2.4 2.4 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出★★ 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？★★ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使面，使物体相对新的投影面处于解题所需物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置要的有利位置，然后将物体向新投影面进，然后将物体向新投影面进行投射。

行投射解决方法：更换投影面解决方法：更换投影面返回返回下页下页上页上页VHAB a  b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解最有利的解 题位置  平行于新的投影面平行于新的投影面  垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系以构成一个相互垂直的两投影面的新体系Pa'1b'1返回返回下页下页上页上页VHA a a   axX⒈⒈ 更换一次投影面更换一次投影面  旧投影体系旧投影体系 X —VH  新投影体系新投影体系P1HX1 —A点的两个投影：点的两个投影：a，， a A点的两个投影：点的两个投影：a，，a'1⑴ ⑴ 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a'1ax1    VHXP1HX1 a aa'1axax1.返回返回下页下页上页上页ax1   VHXP1HX1 a aa'1VHA a   axXX1P1a'1ax1 ⑵ ⑵ 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系  aa'1   X1 a'1ax1 = a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。

到原投影轴的距离axa 一般规律：一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴于新投影轴返回返回下页下页上页上页  XVHaa ax更换更换H面面⑶ ⑶ 求新投影的作图方法求新投影的作图方法  VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离于被代替的投影到原投影轴的距离aa X1P1V a1axax1ax1更换更换V面面●a'1作图规律：作图规律：..返回返回下页下页上页上页⒉⒉ 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1，， P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 —再把再把H面换成平面面换成平面P2，， P2  P1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 —P1 P2⑴⑴ 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a'1ax1P2X2ax2a2   返回返回下页下页上页上页ax2 a aXVH⑵⑵ 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a'1   X2 轴轴 a2ax2 = aax1a'1 axax1  ..返回返回下页下页上页上页VHAB a  b ab四、换面法的四个基本问题四、换面法的四个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB//P1。

X1HP1P1a'1b'1空间分析空间分析：： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角面的夹角 a  b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a'1●b'1●与与ab平行 .返回返回下页下页上页上页a'1●b'1●VH a aXB b bA2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a  b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a'1b'1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a'1b'1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；返回返回下页下页上页上页 一般位置直线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a  b  c abcdVHABCDX d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。

直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 P1X1c'1b'1 a'1 d'1空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，则该影面的垂直线，则该平面变成新投影面的平面变成新投影面的垂直面作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？ 思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！返回返回下页下页上页上页α a  b  c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面成投影面垂直面HP1X1作作 图图 过过 程：程：★★ 在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD　d d★★ 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线面的垂直线d'1●a'1 d'1●c'1● 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？.返回返回下页下页上页上页a'1 b'1●需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。

二次换面，再变换成新投影面的平行面X2P1P24. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a  c  b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线空间分析：空间分析：a2●c2●b2●c'1●X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行返回返回下页下页上页上页b'1 距离距离dd'1X1HP1X2P1P2c2  d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足Dc c  b  a abXVH  五、换面法的应用五、换面法的应用 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映实长APBDCca b d作图作图: 求求C点到直线点到直线AB的距离，的距离，就是求垂线就是求垂线CD的实长空间及投影分析：空间及投影分析：c'1 a'1 a2 b2 d2 过过c'1作线平行于作线平行于x2轴如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？返回返回下页下页上页上页b a abcd●c 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN，， 且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及MN的投影。

的投影MN●m ●d ●a'1≡b'1≡m'1●n'1●c'1●d'1●n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MN●n ●m 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1⊥⊥c1d1P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请注意各点的投请注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m点是难点点是难点返回返回下页下页上页上页空间及投影分析空间及投影分析：：AB与与CD都平行于投影面时，其投影都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（的夹角才反映实大（60°），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的平点所确定的平面变换成投影面平行面面变换成投影面平行面例例3: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60º角 d X1HP1X1P1P2ab a  c  b XVHc作作 图：图：c2●●●c'1●a'1 b'1●a2●d2●d●b2● 几个解？几个解？两个解！两个解！ 已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。

求等边三角形的投影思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60°D点的投影点的投影如何返回？如何返回？..返回返回下页下页上页上页P2P1X2H P1X1c d b a dacb●d'1●c'1●a'1●d2●b'1c2●●a2≡ b2θVHXθ例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角的两面角空间及投影分析空间及投影分析：： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角时所得两交线之间的夹角 在投影图中在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求返回返回下页下页上页上页 小小 结结  本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法换面法一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。

二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件，， 即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系，， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效律继续有效三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握返回返回下页下页上页上页换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1. 把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3. 把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4. 把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线返回返回下页下页上页上页四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题：⒈⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些条件，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。

抽象成几何元素（点、线、面等）⒉⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素素对新投影面应处于什么样的特殊位置对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法⒊⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果确无误地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投 影体系中去影体系中去返回返回下页下页上页上页VWH2.5.1 2.5.1 体的投影及三视图体的投影及三视图一、体的投影一、体的投影 体的投影，实质上是构成该体的所体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和有表面的投影总和返回返回下页下页上页上页二、三面投影与三视图二、三面投影与三视图1.1.视图的概念视图的概念主视图主视图(front view) 体的正面投影体的正面投影俯视图俯视图(vertical view) 体的水平投影体的水平投影左视图左视图(left view) 体的侧面投影体的侧面投影2.2.三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应俯视左视宽相等且对应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 视图就是将物体向投视图就是将物体向投影面投射所得的图形。

影面投射所得的图形返回返回下页下页上页上页3.3.三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系  主视图反映：上、下主视图反映：上、下 、左、右、左、右  俯视图反映：前、后俯视图反映：前、后 、左、右、左、右  左视图反映：上、下左视图反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右返回返回下页下页上页上页2.5.22.5.2基本体的形成及其三视图基本体的形成及其三视图 常见的基本几何体常见的基本几何体平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体返回返回下页下页上页上页点的可见性规定：点的可见性规定： 若点所在的平面的投影若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点平面的投影积聚成直线，点的投影也可见的投影也可见 由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相点与在平面上取点的方法相同一、平面基本体一、平面基本体1.1.棱柱棱柱⑵⑵ 棱柱的三视图棱柱的三视图⑶⑶ 棱柱面上取点棱柱面上取点  a  a  a   (b ) b⑴⑴ 棱柱的组成棱柱的组成  b  由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成。

侧棱面与侧棱面的交线组成侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行 在图示位置时，六棱柱的两在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映底面为水平面，在俯视图中反映实形前后两侧棱面是正平面，实形前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合边形的边重合返回返回下页下页上页上页( ) s   s  2.2.棱锥棱锥⑵⑵ 棱锥的三视图棱锥的三视图⑶⑶ 在棱锥面上取点在棱锥面上取点  k  k  k  b  a  c abc a (c )b s  n  n ⑴⑴ 棱锥的组成棱锥的组成  n  由由一个底面和几个一个底面和几个侧棱面侧棱面组成侧棱线交侧棱线交于有限远的一点于有限远的一点——锥锥顶顶同样采用平面上取点法同样采用平面上取点法 棱锥处于图示位置时，棱锥处于图示位置时，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在俯视图上反映实形。

侧棱俯视图上反映实形侧棱面面SAC为侧垂面，另两个为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平侧棱面为一般位置平返回返回下页下页上页上页 圆柱面的俯视图积聚成一圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表两个方向的轮廓素线的投影表示二、回转体二、回转体1.1.圆柱体圆柱体 ⑵⑵ 圆柱体的三视图圆柱体的三视图 ⑶⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断可见性的判断 ⑷⑷ 圆柱面上取点圆柱面上取点  a  a  a  圆柱面上与轴线平行的任圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的一直线称为圆柱面的素线素线 ⑴⑴ 圆柱体的组成圆柱体的组成由由圆柱面和两底面圆柱面和两底面组成 圆柱面是由直线圆柱面是由直线AA1绕与绕与它平行的轴线它平行的轴线OO1旋转而成旋转而成A1AOO1 直线直线AA1称为母线称为母线 利用投影利用投影的积聚性的积聚性返回返回下页下页上页上页 在图示位置，俯视图为一在图示位置，俯视图为一圆另两个视图为等边三圆另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。

轮廓素线的投影 圆锥面是由直线圆锥面是由直线SA绕与绕与它相交的轴线它相交的轴线OO1旋转而旋转而成 S称为称为锥顶锥顶，，直线直线SA称称为母线为母线圆锥面上过锥顶圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的的任一直线称为圆锥面的素线素线O1O⑴⑴ 圆锥体的组成圆锥体的组成 s ● s ●2.2.圆锥体圆锥体⑵⑵ 圆锥体的三视图圆锥体的三视图⑶⑶ 轮廓线素线的投影与轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断曲面的可见性的判断⑷⑷ 圆锥面上取点圆锥面上取点  k ★★辅助直线法辅助直线法★★辅助圆法辅助圆法 (n )s●n k(n )●  k ●由由圆锥面和底面圆锥面和底面组成SA如何在圆锥面如何在圆锥面上作直线？上作直线？过锥顶作过锥顶作一条素线一条素线圆的半径？圆的半径？返回返回下页下页上页上页 三个视图分别为三三个视图分别为三个和圆球的直径相等的个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影个方向轮廓线的投影3.3.圆球圆球 圆母线以它的直圆母线以它的直径为轴旋转而成径为轴旋转而成。

⑵⑵ 圆球的三视图圆球的三视图⑶⑶ 轮廓线的投影与曲轮廓线的投影与曲 面可见性的判断面可见性的判断⑷⑷ 圆球面上取点圆球面上取点 k 辅助圆法辅助圆法k k ⑴⑴ 圆球的形成圆球的形成圆的半径？圆的半径？返回返回下页下页上页上页2.6 2.6 平面体及回转体的截切平面体及回转体的截切截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分  截平面截平面 —— 用以截切物体的平面用以截切物体的平面  截交线截交线 —— 截平面与物体表面的交线截平面与物体表面的交线  截断面截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面成的平面讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 返回返回下页下页上页上页2.6.1 2.6.1 平面体的截切平面体的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式  截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形，其，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。

位置  截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质：返回返回下页下页上页上页二、平面截切体的画图二、平面截切体的画图⒈ ⒈ 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：★ ★ 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点→→棱线法棱线法★ ★ 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线→→棱面法棱面法关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影⒉ ⒉ 求截交线的步骤：求截交线的步骤：☆☆ 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置☆☆ 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状★★ 空间及投影分析空间及投影分析★ ★ 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形的交线，并连接成多边形返回返回下页下页上页上页例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 ●●2 2 ●●4 4 ●●3 3 ●●1 1●●2 2●●4 4●●★ ★ 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3●●★ ★ 投影分析投影分析★ ★ 求截交线求截交线★ ★ 分析棱线的投影分析棱线的投影★ ★ 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

求四棱锥被截切后的俯视图和左视图我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？？棱线法！棱线法！返回返回下页下页上页上页例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图1 12 21 1 (2(2 ) )ⅠⅠ、、ⅡⅡ两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上三面共点：三面共点：2 2 ●1 1 ● 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线当平面体只有局截交线当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部再取局部返回返回下页下页上页上页例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图返回返回下页下页上页上页例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图截切后的俯视图P P 截交线的形状？截交线的形状？ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣⅤⅤⅥⅥⅦⅦⅧⅧ1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 ≡≡3 3 ≡≡6 6 ≡≡7 7 1 1 ≡≡8 8 4 4 ≡≡5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影返回返回下页下页上页上页例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。

截切后的俯视图返回返回下页下页上页上页2.6.2 2.6.2 回转体的截切回转体的截切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质：  截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线  截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置  截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形返回返回下页下页上页上页二、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 ⒈⒈ 空间及投影分析空间及投影分析☆☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状☆☆ 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等如积聚性、类似性等找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影⒉ ⒉ 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。

见性☆☆ 先找特殊点，补充中间点先找特殊点，补充中间点返回返回下页下页上页上页㈠㈠ 圆柱体的截切圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置截平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P返回返回下页下页上页上页例例1 1：求左视图：求左视图★★空间及投影分析空间及投影分析★★求截交线求截交线★★分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置●●●●解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图线的分析和作图●●●●返回返回下页下页上页上页例例1 1：求左视图：求左视图★★空间及投影分析空间及投影分析★★求截交线求截交线★★分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例2 2：求左视图：求左视图●●●●●●●●返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例2 2：求左视图：求左视图返回返回下页下页上页上页例例3 3：求俯视图：求俯视图返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例3 3：求俯视图：求俯视图返回返回下页下页上页上页截交线的已知投影？截交线的已知投影？●●●●●●●●●●●●例例4 4：求左视图：求左视图★★找特殊点找特殊点★★补充中间点补充中间点★★光滑连接各点光滑连接各点★★分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状空间形状？？ 返回返回下页下页上页上页例例4 4：求左视图：求左视图★★找特殊点找特殊点★★找中间点找中间点★★光滑连接各点光滑连接各点★★分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影返回返回下页下页上页上页 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。

变化而改变45°45°什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？？截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成45°45°时返回返回下页下页上页上页例例5 5：求左视图：求左视图例例5 5：求左视图：求左视图虚实分界点虚实分界点返回返回下页下页上页上页㈡㈡ 圆锥体的截切圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状对位置不同，截交线有五种形状过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV Vθθθ= 90°θ= 90°P PV V椭圆椭圆ααθθθθ＞＞αα抛物线抛物线P PV Vθθααθ=αθ=α双曲线双曲线P PV Vααθ= 0°θ= 0°＜＜αα返回返回下页下页上页上页例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图截交线，并完成三视图截交线的截交线的空间形状空间形状？？截交线的截交线的投影特性投影特性？？★★找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点一根轴的端点？？★★补充中间点补充中间点★★光滑连接各点光滑连接各点★★分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影返回返回下页下页上页上页例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

截交线，并完成三视图返回返回下页下页上页上页㈢㈢ 球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形截交线的形状都是圆状都是圆，但根据截平面与投影面，但根据截平面与投影面的相对位置不同，的相对位置不同，其其截交线的投影截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线可能为圆、椭圆或积聚成一条直线返回返回下页下页上页上页例：求半球体截切后的俯视图和左视图例：求半球体截切后的俯视图和左视图水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线积聚为直线两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线图上积聚为直线返回返回下页下页上页上页例：求半球体截切后的俯视图和左视图例：求半球体截切后的俯视图和左视图返回返回下页下页上页上页●● ●●●●●●●●㈣㈣ 复合回转体的截切复合回转体的截切●●●●●●●●●●●● 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，以及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

转体的截交线，并依次将其连接例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图返回返回下页下页上页上页 小小 结结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置平面与被截立体轴线的相对位置 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线返回返回下页下页上页上页 当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影素线的投影⑵ ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。

⒉ ⒉ 求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤⒈ ⒈ 空间及投影分析空间及投影分析⑴ ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状返回返回下页下页上页上页⒊ ⒊ 当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图当只有 局部被截切局部被截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部 ⒋ ⒋ 求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并依，并依次将其连接次将其连接返回返回下页下页上页上页平面体与回平面体与回转体相贯转体相贯回转体与回回转体与回转体相贯转体相贯多体相贯多体相贯2.7.1 2.7.1 概概 述述1.1.相贯的形式相贯的形式 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做线叫做相贯线相贯线。

本章主要讨论常用不同立体相交时其本章主要讨论常用不同立体相交时其表表面相贯线的投影特性及画法面相贯线的投影特性及画法返回返回下页下页上页上页2.2.相贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干体表面的若干共有点共有点的投影★★ 共有性共有性★★ 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上相贯线位于两立体的表面上相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线★★ 封闭性封闭性 相贯线一般是相贯线一般是封闭的空间折线封闭的空间折线（通常（通常由直线和曲线组成）由直线和曲线组成）或空间曲线或空间曲线返回返回下页下页上页上页1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线是相贯线是由若干段平面曲由若干段平面曲线（或直线）所组成的线（或直线）所组成的空间折空间折线线，，每一段是平面体的棱面与每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线回转体表面的交线2.7.2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法  分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。

定交线的形状  求出各棱面与回转体表面的截交线求出各棱面与回转体表面的截交线  连接各段交线，并判断可见性连接各段交线，并判断可见性 求交线的实质是求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线求各棱面与回转面的截交线返回返回下页下页上页上页例例1：：补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧直，截交线为两段圆弧 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体表由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上水平投影积聚在矩形上返回返回下页下页上页上页例例1：：补全主视图补全主视图返回返回下页下页上页上页例例2：求作主视图：求作主视图返回返回下页下页上页上页例例2：求作主视图：求作主视图返回返回下页下页上页上页1. 1. 相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为相贯线一般为光滑封闭的光滑封闭的空间曲线空间曲线，，它是两回转体表面它是两回转体表面的共有线的共有线。

2.7.3 2.7.3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法  利用投影的积聚性直接找点利用投影的积聚性直接找点  用辅助平面法用辅助平面法  先找特殊点先找特殊点⒊ ⒊ 作图过程作图过程  补充中间点补充中间点确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围返回返回下页下页上页上页例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线圆柱与圆柱相贯，求其相贯线●●●●●●●●● 空间及投影分析：空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，水面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为共有性，相贯线的水平投影即为该圆大圆柱轴线垂直于该圆大圆柱轴线垂直于W面，面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上面投影在该圆上求相贯线的投影：求相贯线的投影： 利用积聚性，采用利用积聚性，采用表面取点法表面取点法☆☆ 找特殊点找特殊点☆☆ 补充中间点补充中间点☆☆ 光滑连接光滑连接返回返回下页下页上页上页例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

圆柱与圆柱相贯，求其相贯线返回返回下页下页上页上页当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）返回返回下页下页上页上页例例2：补全主视图：补全主视图●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★★ 外形交线外形交线◆ 两外表面相贯两外表面相贯◆◆ 一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯★★ 内形交线内形交线◆ 两内表面相贯两内表面相贯返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例2：补全主视图：补全主视图 无轮是两外表面相贯，无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是求相贯线的方法和思路是一样的小小 结：结：返回返回下页下页上页上页●例例3：求主视图：求主视图●●●●●相切处无线相切处无线× 外表面与外表外表面与外表面相贯，内表面与面相贯，内表面与内表面相贯分别内表面相贯分别求其相贯线求其相贯线返回返回下页下页上页上页立体例例3：求主视图：求主视图返回返回下页下页上页上页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。

圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 ◆◆ 空间及投影分析：空间及投影分析： 相贯线为一相贯线为一光滑的封闭的空间曲线光滑的封闭的空间曲线它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出投影没有积聚性，应分别求出◆◆ 解题方法：解题方法：辅助平面法辅助平面法返回返回下页下页上页上页辅助平面法：辅助平面法： 根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅助平面求的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影相贯线的投影作图方法：作图方法： 假想用辅助平面截切两回转体假想用辅助平面截切两回转体，分别得，分别得出两回转体表面的截交线由于截交线的交出两回转体表面的截交线由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点因而是相贯线上的点辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使使辅助平面与两回转体辅助平面与两回转体表面的截交线表面的截交线的的投影投影简单易画简单易画，例如直线或圆。

例如直线或圆一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面返回返回下页下页上页上页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 假想用水平面假想用水平面P截切立体，截切立体，P面与圆柱面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点P●●●●返回返回下页下页上页上页●例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 ●●●●●●●●●●●●解题步骤：解题步骤：★★ 求特殊点求特殊点★★ 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点★★ 光滑连接各点光滑连接各点返回返回下页下页上页上页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 解题步骤：解题步骤：★★ 求特殊点求特殊点★★ 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点★★ 光滑连接各点光滑连接各点返回返回下页下页上页上页123例例5：补全主视图：补全主视图●●●●●●●● 这是一个多体这是一个多体相贯的例子，首先相贯的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本体组成的，这些本体组成的，这些基本体是如何相贯基本体是如何相贯的，的，然后然后分别进行分别进行相贯线的分析与作相贯线的分析与作图。

图返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例5：补全主视图：补全主视图三面共点三面共点●●● 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点线汇交于这一点返回返回下页下页上页上页●●●●●●●●●●例例6：求俯视图：求俯视图●●●●●●●●返回返回下页下页上页上页立体立体立体立体例例6：求俯视图：求俯视图返回返回下页下页上页上页 小小 结结 一、本章的基本内容一、本章的基本内容⒈⒈ 立体表面相贯线的概念立体表面相贯线的概念⒉⒉ 求相贯线的基本方法求相贯线的基本方法相贯线的性质：相贯线的性质：表面性表面性 共有性共有性 封闭性封闭性二、解题过程二、解题过程⒈⒈ 交线分析交线分析⑴⑴ 空间分析：空间分析：⑵⑵ 投影分析：投影分析： 是否有积聚性投影？是否有积聚性投影？找出找出相贯线的相贯线的已知投影已知投影，，预见未知投影，预见未知投影，从而从而选择解题方法选择解题方法面上找点法面上找点法 辅助平面法辅助平面法 分析相交两立体的表面形状，分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相形体大小及相对位置，对位置，预见交线的形状预见交线的形状。

返回返回下页下页上页上页特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等轮廓线上的点等⒉⒉ 作图作图⑴⑴ 找点找点⑵⑵连线连线⑶⑶检查、加深检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影尤其注意检查回转体轮廓素线的投影 当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：骤为：☆☆ 先找特殊点先找特殊点☆☆ 补充若干中间点补充若干中间点返回返回下页下页上页上页三、平面体与圆柱体相贯三、平面体与圆柱体相贯⒈⒈ 相贯线的产生：相贯线的产生：⒉⒉ 求相贯线的方法：求相贯线的方法：⒊⒊ 相贯线的形状及投影：相贯线的形状及投影：外表面与外表面相交，外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交内表面与内表面相交 求平面体的求平面体的棱面与圆柱面的截交线棱面与圆柱面的截交线，，依次连依次连接起来 相贯线为相贯线为封闭的空间折线封闭的空间折线。

相贯线在非积聚相贯线在非积聚性投影上总是性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折向被穿的圆柱体里面弯折，而且在，而且在两体两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影返回返回下页下页上页上页四、两圆柱体相贯四、两圆柱体相贯⒈⒈ 相贯线的产生相贯线的产生：：⒉⒉ 求相贯线的方法：求相贯线的方法：⒊⒊ 相贯线的形状及投影：相贯线的形状及投影：外表面与外表面相交，外外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表表面与内表面相交，内表面与内表面相交面与内表面相交 常用的方法是常用的方法是利用积聚性利用积聚性表面取点表面取点，也可用，也可用辅助平面法辅助平面法 相贯线为相贯线为光滑封闭的空间曲线光滑封闭的空间曲线当两圆柱正交，当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向向大圆柱里弯曲大圆柱里弯曲，，当当两圆柱直径相等两圆柱直径相等时，相贯线在空间时，相贯线在空间为两个椭圆，其为两个椭圆，其投影变为直线投影变为直线 在两体在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。

返回返回下页下页上页上页五、多体相贯五、多体相贯 每个局部都是两体相贯每个局部都是两体相贯，首先分析，首先分析它是由哪些基本体组成的，然后它是由哪些基本体组成的，然后两两进两两进行相贯线的分析与作图行相贯线的分析与作图返回返回下页下页上页上页。