(课标专用)天津市高考数学二轮复习 题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题-人教版高三数学试题
7页1、题型练6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页1.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,ABE=60,G为BE的中点.(1)求证:AG平面ADF;(2)若AB=3BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)证明矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,ADAB.矩形ABCD菱形ABEF=AB,AD平面ABEF.AG平面ABEF,ADAG.菱形ABEF中,ABE=60,G为BE的中点,AGBE,即AGAF.ADAF=A,AG平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=3BC=3,则BC=1,AG=32,故A(0,0,0),C32,-32,1,D(0,0,1),G32,0,0,则AC=32,-32,1,AD=(0,0,1),AG=32,0,0,设平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),则n1AC=32x1-32y1+z1=0,n1AD=z1=0,取y1=3,得n1=(1,3,0),设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),则n2AC=32x2-
2、32y2+z2=0,n2AG=32x2=0,取y2=2,得n2=(0,2,3).设二面角D-CA-G的平面角为,则cos=n1n2|n1|n2|=2327=217,易知为钝角,二面角D-CA-G的余弦值为-217.2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以OB,OC,OO1为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P32,-12,2,从而BP=-32,-12,2,AC1=(0,2,2),故|cos|=|BPAC1|BP|AC1|=|-1+4|522=31020.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q为BC的中点,所以Q32,
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