(课标专用)天津市高考数学二轮复习 专题能力训练11 数列的通项与求和-人教版高三数学试题
9页1、专题能力训练11数列的通项与求和专题能力训练第28页一、能力突破训练1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a10=28,则S9=()A.45B.90C.120D.75答案:B解析:因为an是等差数列,设公差为d,所以a4+a10=a1+3d+a1+9d=2a1+12d=4+12d=28,解得d=2.S9=9a1+982d=18+362=90.故选B.2.已知数列an是等差数列,满足a1+2a2=S5,下列结论错误的是()A.S9=0B.S5最小C.S3=S6D.a5=0答案:B解析:由题设可得3a1+2d=5a1+10d2a1+8d=0,即a5=0,所以D中结论正确.由等差数列的性质可得a1+a9=2a5=0,则S9=9(a1+a9)2=9a5=0,所以A中结论正确.S3-S6=3a1+3d-6a1-15d=-3(a1+4d)=-3a5=0,所以C中结论正确.B中结论是错误的.故选B.3.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.398答案:C解析:Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当n2时,an=
2、Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=-2,n=1,2n-3,n2.a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.4.已知数列an满足a1=12,an+1=an+12n(nN*),则a2 019=()A.1-122018B.1-122019C.32122018D.32122019答案:C解析:数列an满足a1=12,an+1=an+12n(nN*),an+1-an=12n,当n2时,an=a1+a2-a1+a3-a2+an-an-1=12+121+122+12n-1=12+121-12n-11-12=3212n-1,a2019=32122018.故选C.5.已知数列an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为13的等比数列,则数列an的通项公式为()A.an=323213n,nN*B.an=32+3213n,nN*C.an=1,n=1,32+3213n,n2,且nN*D.an=1,nN*答案:A解析:
3、因为数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为13的等比数列,所以an-an-1=13n-1,n2.所以当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+13+132+13n-1=1-13n1-13=323213n.又当n=1时,an=323213n=1,则an=323213n,nN*.6.已知数列an满足a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),则an=.答案:2n2-n+2解析:因为an-an+1=nanan+1,所以an-an+1anan+1=1an+11an=n,1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a1=(n-1)+(n-2)+3+2+1+1a1=(n-1)(n-1+1)2+1=n2-n+22(n2).所以an=2n2-n+2(n2).又a1=1也满足上式,所以an=2n2-n+2.7.记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.答案:-63解析:Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n2).又S1=2
4、a1+1,a1=-1.an是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6=-(1-26)1-2=-63.8.已知数列an中,a1=a,an+1=3an+8n+6,若an为递增数列,则实数a的取值范围为.答案:(-7,+)解析:由an+1=3an+8n+6,得an+1+4(n+1)+5=3(an+4n+5),即an+1+4(n+1)+5an+4n+5=3,所以数列an+4n+5是首项为a+9,公比为3的等比数列.所以an+4n+5=(a+9)3n-1,即an=(a+9)3n-1-4n-5.所以an+1=(a+9)3n-4n-9.因为数列an为递增数列,所以an+1an,即(a+9)3n-4n-9(a+9)3n-1-4n-5,即(a+9)3n6恒成立.因为nN*,所以(a+9)36,解得a-7.9.已知数列an中,a1=1,an-an-1+1=2n(nN*,n2).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=14an-1,求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.解:(1)当n2时,因为an-an-1=2n-1,a1=1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=1
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