福建省南平市2024届高三下学期开学收心考试（3月）数学试题

1、福建省南平市2024届高三下学期开学收心考试（3月）数学试题注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A12个月的PMI值不低于50%的频率为B12个月的PMI值的平均值低于50%C12个月的PMI值的众数为49.4%D12个月的PMI值的中位数为50.3%2过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )ABCD3抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点

2、，则的最小值为（ ）ABCD4已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）ABC3D55设复数满足为虚数单位)，则（ ）ABCD6直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A10B9C8D77已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ）ABCD8已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）ABCD9集合，则（ ）ABCD10已知点、若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）ABCD11已知直四棱柱的所有棱长相等，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）ABCD12已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是_ cm14边长为2的菱形中,与

3、交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则_.15已知向量，满足，且已知向量，的夹角为，则的最小值是_16已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.18（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.19（12分）如图，在正三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值20（12分）在中，角的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面积21（12分）设数列的前n项和满足，（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式（2）设，求证：.22（10分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题

4、，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解题分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【题目详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【题目点拨】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.2B【解题分析】利用抛物线的定义可得,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【题目详解】设抛物线的焦点为F,设点，由抛物线的定义可知，线段AB中点的横坐标为3，又，可得，所以抛物线方程为.故选：B.【题目点拨】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.3B【解题分析】通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值【题目详解】解：由题意可知，

5、抛物线的准线方程为，过作垂直直线于，由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，设在的方程为：，所以，解得：，所以，解得，所以，故选：【题目点拨】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题4C【解题分析】由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题5B【解题分析】易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【题目详解】由已知，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6B【解题分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值【题目详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【题目点拨】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题7D【解题分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利

6、用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【题目详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，解得.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【题目点拨】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.8C【解题分析】求出导函数，由有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论【题目详解】，.若存在极值，则，又.又故选：C【题目点拨】本题考查导数与极值，考查余弦定理掌握极值存在的条件是解题关键9D【解题分析】利用交集的定义直接计算即可.【题目详解】，故，故选：D.【题目点拨】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.10C【解题分析】设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【题目详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，解得或或.综上，满足条件的点共有三个故选

7、：C.【题目点拨】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题11D【解题分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【题目详解】如图所示的直四棱柱，取中点，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为，则取，得设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正切值等于故选：D【题目点拨】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.12B【解题分析】先求出直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率【题目详解】双曲线1（ab0）的渐近线方程为yx，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，kl，直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得y或y，2，ab，c2b，e故选B【题目点拨】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】

8、依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.14【解题分析】取基向量，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得【题目详解】如图：设，又，且存在实数使得，故答案为：【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题15【解题分析】求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.【题目详解】如图所示，设，由题，得，又，所以，则点C在以AB为直径的圆上，取AB的中点为M，则，设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E，则的最小值是，因为，又，所以的最小值是.故答案为：【题目点拨】本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.16【解题分析】先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【题目详解】解：由题可知，不等式对于任意恒成立，即，又因为，对任意恒成立，设，其中，由不等式，可得：，则，当时等号成立，又因为在内有解，则，即：，所以实数的取值范围：.故答案为：.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析；（2）存在，【解题分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对

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