“四省八校”2022届高三上学期期中质量检测考试文科数学试题（含答案）

“四省八校”2022届高三第一学期期中质量检测考试 文科数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和报名号等相关信息并贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（满分60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在定义域上是减函数的为（ ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，前9项和，则（ ） A． B． C． D． 4．直线和直线垂直，则实数m的值为（ ） A．0或 B． C． D． 5．已知实数a，b，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（ ） A．0 B．3 C． D．6 7．已知命题p：若，则，命题q：函数最大值为，下列是真命题的为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数定义域为，且图象关于对称，在单调递增，若，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，则下列正确的是（ ） A．最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．将图象向右平移个单位长度后得到的图象，此时 D．是的一个减区间 10．已知平行四边形，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 11．已知点P在圆上，从出发，沿圆周逆时针方向运动了弧长到达B点，且，又B点在角终边上，则（ ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，定点，动点满足，P的轨迹与圆有两个公共点A，B，若在上至多有3个不同的点到直线距离为，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（满分90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若实数x，y满足约束条件，则取最大值时最优解为____________． 14．已知向量，则在方向上的投影为___________． 15．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为_________． 16．函数是定义在上的可导函数，为其导函数，，且，若恰有两个零点，则a的取值范围为____________． 三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．已知是正项等比数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和． 18．已知函数 （1）讨论的单调区间； （2）求在上的最大值． 19．在中，角A，B、C对边分别为a、b、c，，，D为边上一点，且． （1）求； （2）若，求面积． 20．已知椭圆C的方程为：，离心率为，椭圆上的动点P到右焦点F距离的最大值为3． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点F作不平行于y轴的直线l交椭圆于A、B两点，点A关于x轴对称点为，求证：直线过定点． 21．已知函数； （1）若的极大值点是1，求a的值； （2）当时，恒成立，求a的最大整数值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为． （1）求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）在直角坐标系中，若把曲线图象向下平移2个单位，然后横坐标不变，纵坐标压缩到原来的，得到曲线，直线l与曲线交于点M、N，与x轴交于点P，求的值． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知 （1）当时，解关于x的不等式； （2）若最小值为3，求的最小值． “四省八校”2022届高三第一学期期中质量检测考试 文科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求） 1．B 【解析】，∴． 2．B 【解析】A项单增：C项在单增，单减；D项在上单减． 3．C 【解析】，∴又，∴ ∴公差，，∴ 4．A 【解析】，∴或，检验成立． 5．A 【解析】，，∴是充分不必要条件 6．D 【解析】，∴，又，∴ 7．A 【解析】当与方向相反时，不相等，P为假命题．令，则在上单减，∴，q为真命题． 8．C 【解析】7关于对称，∴关于y轴对称，为偶函数 又在上单增，∴在上单增． ，∵，， ∴，∴ 9．B 【解析】 ∵，∴是的一个对称中心． 10．A 【解析】以为基底， ，∴ ∴是菱形，，∴ 11．D 【解析】，∴ ∴，∴， 12．D 【解析】由得即为P的轨迹，由得公共弦所在直线方程为：，又，，，，， ∴①；因为两圆有两个公共点，所以 ∴，∴② 又因为上至多有3个不同点到直线距离为 所以到直线距离，∴ ∴或③ 由①②③得或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 解析：令，则过时，z取得最大值，此时最优解为．（或） 14． 解析：与上的投影为 15． 解析：设，则，∵， ∴t必须取到，∴，又时，，∴，∴ 16． 解析：由得， 可逆向构造方程，∴ 又，∴， 在单减，单增，， 时，，∵有两个零点，∴ 三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．解：（1），∵∴， ，∴ （2）， ∴， ∴ 18．解：（1）定义域 ①在上单减； ②在上单增，单减； （2）由（1）知：时，在单减，； ②时，在单增，； ③时，在单增，单减，； 综合 19．解：（1）， ∵，∴， ∴ 在中，，， ， ∴ （2）在中，，∴，∴或 当时，， ， 当时，， ， 综合：面积S为或． 20．解：（1）由题意知，， ∴，∴，∴ （2）∵，设，与 联立得 设 直线方程为：， 即 ∵ ∴，∴l过定点 21．解：（1） ∴，∴ 此时 在单增，单减，又 在单增，单减，∴是的极大值点 ∴ （2）法一：∵，∴ 当时， ，∴在单增，单减 ∵ 使，则 此时在单增，单减 成立 ∴a的最大整数值为1 法二：时，恒成立，， 时， 令 令 ∴在单减，单增，， 使，∴ 此时在单减，单增 ∴ ，∴在上单减，∴ ∴，当时，同法一：检验成立，∴a的最大整数值为1 22．解：（1） （2） ，l的标准参数方程为（t为参数） 代入中，得 设M，N对应参数为，则即为上述方程的两根 23．解：（1）时， 或或 ∴ （2） 当，即时取“=” ∴ ∴ 当且仅当时，取最小值 学科网（北京）股份有限公司