分块矩阵的应用.doc

本科毕业论文（设计） 题 目： 分块矩阵的应用 学 生： 学号： 学 院： 专业： 数学与应用数学 入学时间： 2011 年 9 月 15 日指导教师： 职称： 讲师 完成日期： 年 月 日分块矩阵的应用 摘 要：本文详细且全面综述了分块矩阵的概念和性质，主要内容包括分块矩阵求逆矩阵的应用、分块矩阵在行列式计算中的应用、分块矩阵在求矩阵的秩的应用、分块矩阵在解线性方程组中的应用、分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多阶数比较高，比较复杂的矩阵问题的解决变得简明而清晰 关键词：分块矩阵；逆矩阵；行列式；矩阵的秩；线性方程组；特征值Application of Block MatrixAbstract: Detailed and comprehensive review of the concept and nature of block matrices. Includes application of block matrix inversion matrix, application of partitioned matrix in determinant computation, application of partitioned matrix in calculating the rank of a matrix. application of partitioned matrix in solving linear equations, block matrices in matrix eigenvalue problem and its application Block matrix uses a lot of examples are techniques that can make many higher order than in the advanced algebra, complex matrix fix is brief and clear.Key words: Block Matrix；Transformation Matrix；Determinant；Rank of a Matrix； The eigenvalue of the matrix； Linear equations目 录1 引言 12 基础知识 13 分块矩阵的应用 23.1 分块矩阵求逆矩阵的应用 23.2 分块矩阵在行列式计算中的应用 43.3 分块矩阵在求矩阵的秩的应用 73.4 分块矩阵在解线性方程组中的应用 83.5 分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 114 结论（结束语） 12参考文献 12致谢 12131 引言矩阵是《高等代数》中一个重要的内容，利用分块矩阵解决问题的过程，是一个化繁为简的过程，符合人们的认知。

本文为高阶矩阵为例，采用分块矩阵的思想用例题阐述求逆矩阵、行列式的计算、矩阵的秩、解线性方程组、矩阵特征值等分块矩阵的应用问题2 基础知识 定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵,将每个小矩阵称为这个矩阵的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 设是一个矩阵,若用若干横线条将它分成r块,再用若干纵线条将它分成s块.于是我们就得到了一个有块的分块矩阵，其中表示一个矩阵加法：设，，用同样的方法对进行方块可以得到（表示的是一个矩阵）则定义：数乘：设，k为任意数，则定义分块矩阵与k的数乘为：乘法：设，分块为，，其中是矩阵，定义分块矩阵为的乘积为：其中转置：设分块为的转置为：分块矩阵的初等变换：(1)互换分块矩阵的某两行(列);(2)用一个非奇异阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列);(3)用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.3 分块矩阵的应用3.1 分块矩阵求逆矩阵的应用通常对高阶矩阵直接求逆矩阵计算量大、容易出错采用分块的思想可以减少计算量、提高做题的准确率 下面是两个常用求逆矩阵的结论：其中例1.已知矩阵，求.解：对矩阵T进行分块，分别记那么,由结论（1）可知又A、D分别为二阶矩阵，易求得例2.求矩阵的逆矩阵. 解：对矩阵A进行分块，分别记为那么,结论（3）可知又，分别为二阶矩阵，易求得,例3.求矩阵的逆矩阵.解：令则够造矩阵利用分块矩阵的初等行变换3.2 分块矩阵在行列式计算中的应用 例4.求阶行列式 解：令，A,B均为n阶方阵，由定理（2）可知 例5.计算行列式 解：D=令则一方面， ，而则另一方面，3.3 分块矩阵在求矩阵的秩的应用矩阵通过若干次初等变换其秩不变，同样分块矩阵通过若干次初等变换其秩也不变。

下面给出几个矩阵秩的常用性质例6. 证：构造例7.设证明：.证：构造，对其进行初等变换综上所述即而问题得证：注：以上例题中3.4 分块矩阵在解线性方程组中的应用对于线性方程组如果采用加减消元法来做不仅计算量大而且过程繁琐，利用矩阵的思想可以是方程的结构清晰，采用分块的思想可以减少工作量例8.解非齐次线性方程组解：把方程改写成矩阵，并进行如下形式的分块 (1)其中，,那么对于（1）式左乘，可得那么，解得进而解得方程的解为例9.求解方程组解：把方程改写成矩阵，并进行如下形式的分块 (2)其中，,那么对于（2）式左乘，可得那么，解得进而解得方程的解为3.5 分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用一般情况下对于一些阶数较高和较复杂的矩阵尤其对于一些给出的是抽象的矩阵特征值时, 我们经常会构造分块矩阵去解决,这样可以使问题很直观的去解决.例10.设是矩阵，是矩阵，证明的特征多项式与的特征多项式有关系：证：由题意可知构造分块矩阵要出现，下面对进行初等变换,即左乘一个广义初等分块矩阵对上式求行列式 （3）同理，右乘一个广义初等分块矩阵两边取行列式得 (4)由（3）（4）可知命题得证.4 结论（结束语）通过上面介绍的分块矩阵在高等代数中的应用。

我们可以看出分块矩阵的两个特点：一，分块矩阵应用之广泛，知识之间是相互贯穿的二、分块矩阵可以事问题变得简单明了通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数学中的重要性也肯定了分块矩阵在高等代数中的实用价值参考文献：[1] 王超亚．分块矩阵的若干初等运算及运用[A] ．应用研发·应用软件，2013（5）：161-162，165．[2] 王秀芳．分块矩阵的应用讨论[A]．连云港师范高等专科学校学报，2008，（3）：97-99． [3] 蔡鸣晶．例说分块矩阵的应用[A]．读与写杂志，2014，11（4）：52-53． [4] 史永铨．分块矩阵的初等变换及其应用[A]．淮南师范学院学报，2002，2（4），1-3． [5] 陈怀琴，徐玉名．利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值[A]．井冈山师范学院学报（自然科学），2004，25（6）：72-74． [6] 李晓红，卜啸天．分块矩阵的初等变换及其应用[A]．高等函授学报（自然科学版），2007,21（4）：19-21． [7] 应建军．分块矩阵的初等变换及其在行列式、逆和秩中的应用．考试周刊，2012，（19），44-46．[8] 罗 敬．分块矩阵在矩阵计算题和证明题中的应用[A]．宜春学院学报，2013,35（6）：19-22．[9] 刘红旭．利用分块矩阵求解非齐次线性分程组[A]．辽宁师专学报，2003,5（2）：20-21．[10] Marsaglia G，Styan GP. Equalities and inequalities for rank of matrices[J]. Linear and Multilinear Algebra,1974,(2):269-292.致谢大学四年即将结束，在毕业之前所完成的这篇论文要感谢很多很多，从课题选择、具体设计到完成。

首先要感谢学院领导对我的支持，员范敏对我的关爱以及各位老师对我的关怀然后是我的论文指导老师辛大伟讲师对我们的悉心指导，帮助我能够顺利完成论文最后要感谢我的同学和朋友的陪伴与支持，真心谢谢你们。