2015年考研数学二真题.pdf

2015 一、选择题 （1）D 【解答】 因为1 1 lim 2 1 =⋅ +∞→ x x x 且1 2 1 α时，)0( f ′ 存在，且0)0(=′f； 0≠x时， β βα β α βα x x x xxf 1 sin 1 cos)( 11 ⋅+=′ −−− ， 若)(xf′在0=x处连续，则01, 1−−βαα，即1−βα，应选)(A （4）C 【解答】 0)(=′ ′xf左边的零点为ax =，右边的零点为bx =， 又0=x处)(x f ′ ′ 不存在 因为ax =得左右两侧)(x f ′ ′ 都大于零，所以))(,(afa不是拐点； 因为0=x左右两侧)(x f ′ ′ 异号，所以))0(, 0(f为拐点； 因为bx =左右两侧)(x f ′ ′ 异号，所以))(,(bfb为拐点， 故)(xfy=有两个拐点，应选)(C 考研数学二真题解析考研数学二真题解析 新浪微博：考研猎人 公众号：kylieren 212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新视频分享群： 533901476 （5）D 【解答】 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ v x y uyx ，解得 1 , 1+ = + = v uv y v u x，则 v vu v vu v u vuf + − = + − + = 1 )1 ( ) 1() 1( ),( 2 2 22 2 2 ， v vu u f + − = ∂ ∂ 1 )1 (2 ， 2 2 )1 ( 2 v u v f + − ⋅= ∂ ∂ ， 故0| 1 1= ∂ ∂ = = v u u f ， 2 1 | 1 1 −= ∂ ∂ = = v u v f ，应选)(D。

（6）B 【解答】 令 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos ry rx ， （ 34 π θ π ≤≤， θθ2sin 1 2sin2 1 ≤≤ r） ，则 ∫∫∫∫ = θ θ π π θθθ 2sin 1 2sin2 1 3 4 )sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxf D ，应选)(B （7）D 【解答】 因为bAX =有无数个解，所以3)()(A，所以 ⎩ ⎨ ⎧ −= = 1 0 y x 为极小点， 极小值为1) 1, 0(−=−f （18） 【解】 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ 2 22 2 xy yx 得 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ = −= 1 1 , 1 1 y x y x ， 令}2, 10| ),{( 22 1 xyxxyxD−≤≤≤≤=， 因为区域D关于x对称，所以 ∫∫∫∫ =+ DD dxdyxdxdyyxx 2 )(， 故 ∫∫∫∫ =+= 1 2 2)( DD dxdyxdxdyyxxI ∫∫∫∫ −−== −1 0 4 1 0 22 21 0 2 2222 2 2 dxxdxxxdydxx x x 5 2 cos2cos2sin22 4 0 2 sin2 −⋅⋅= ∫ = π tdttt tx 5 2 2sin2 5 2 cossin8 4 0 2 4 0 22 −=−⋅= ∫∫ ππ tdttdtt 5 2 sin 5 2 )2(2sin 2 0 2 4 0 2 −=−= ∫∫ ππ tdtttd 5 2 45 2 22 1 −=−×= ππ 。

（19） 【解】 新浪微博：考研猎人 公众号：kylieren 212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新视频分享群： 533901476 由01) 12(121)( 222 =+−=+++−=′xxxxxxf得 2 1 =x， 当 2 1 ′ x f， 则1=x为最小点，最小值为0) 1 (== fm， 因为011) 2 1 ( 1 4 1 1 2 1 2 −∞→ xf x ，所以)(xf有两个零点，一个在) 2 1 ,(−∞之间，另一个为1=x （20） 【解】 设t时刻物体的温度为)(tT，由题意得 ]20)([−−=tTk dt dT （0k） ， 整理得 kkT dt dT 20=+， 解得 ∫ ∫ + ∫ = −kdtkdt eCdtketT)20()( 20+= −kt Ce 由30)30(,120)0(==TT得 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ − 3020 12020 30t Ce C ，解得 30 10ln ,100==kC， 即20100)( 30 10ln += −t etT， 当21=t时，由2010021 30 10ln += −t e得60=t， 故还需要冷却 30 分钟，物体的温度才可降到 0 21C。

（21） 【解】 切线方程为 )())((bfbxbfy+−′=， 切线与x轴的交点为)0 , )( )( ( bf bf b ′ −，即 )( )( 0 bf bf bx ′ −= 因为0)( ′ x f，所以0)()(=afbf， 新浪微博：考研猎人 公众号：kylieren 212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新视频分享群： 533901476 故b bf bf b ′ − )( )( ， a bf bf b ′ − )( )( 等价于)()()(bf abfbf b′−′， 令)()()()()()()(xfxfaxxf axfxf xx−′−=′−−′=ϕ， 因为0)(=af， 所以)]()([)()()(afxfxfaxx−−′−=ϕ )]()()[()()()()(ξξfxfaxfaxxfax′−′−=′−−′−=（xa ′ ′ x f，所以)(x f ′ 单调增加， 从而)()(ξfxf′′，于是)(0)(bxax−′，即a bf bf b ′ − )( )( ， 故b bf bf ba ′ − )( )( （22） 【解】 （I）由OA = 3 得0||=A， 由0|| 3 == aA得0=a，故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 010 101 010 A。

（II）由EAXAAXXAX=+−− 22 得 EXAAEXAE=−−− 2 )()(，进一步整理得 EAEXAE=−−)()( 2 ，则 121 )()( −− −−=AEAEX 新浪微博：考研猎人 公众号：kylieren 212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新视频分享群： 533901476 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 101 000 101 2 A， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =− 110 111 011 AE， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =− 201 010 100 2 AE， 由 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =− 100110 011100 001011 100110 010111 001011 )(EAE? ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − → 011100 111010 112001 011100 100110 001011 得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =− − 011 111 112 )( 1 AE； 再由 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =− 001100 010010 100201 100201 010010 001100 )( 2 EAE? ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− → 001100 010010 102001 得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− =− − 001 010 102 )( 12 AE， 故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 112 111 213 001 010 102 011 111 112 X。

（23） 【解】 （I）因为BA~，所以 ⎩ ⎨ ⎧ = = |||| )()( BA BtrAtr ， 从而 ⎩ ⎨ ⎧ =− +=+ ba ba 32 23 ，解得5, 4==ba （II）因为BA~，所以BA,的特征值相同， 由0)5() 1( 130 050 021 || 2 =−−= −− − − =−λλ λ λ λ λBE得 BA,的特征值为5, 1 321 ===λλλ 将1=λ代入OXAE=−)(λ，即OXAE=−)(， 新浪微博：考研猎人 公众号：kylieren 212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新视频分享群： 533901476 由 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − =− 000 000 321 321 321 321 AE得 A的属于特征值1=λ的线性无关的特征向量为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 3 , 0 1 2 21 αα； 将5=λ代入OXAE=−)(λ，即OXAE=−)5(， 由 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =− 880 440 121 325 321 121 121 321 325 5AE ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 000 110 101 得 A的属于特征值5=λ的线性无关的特征向量为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 1 1 3 α， 令 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− = 110 101 132 P，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 500 010 001 1AP P。

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