数学北师大版八年级下册分式方程的增根与无解回顾与思考.doc

分式方程的无解与增根复习总结 裴丽华 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念同学们在学习分式方程后常常会对这两个概念混淆不清认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事事实上并非如此 分式方程有增根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值而分式方程无解则是指不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等 它包含两种情形一，原方程化去分母后的整式方程无解二，原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解 例1关于X的分式方程x-2乘以x+2x-2得2x+2-4x=3x-2② 解这个方程得x=2 解方程两边都乘以x+2x-2得2x+2-4x=3x-2② 解这个方程得x=2 经检验当x=2时原方程无意义所以x=是原方程的增根 所以原方程无解 【说明】显然方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2而在去分撐化为方程②后此时未知数x的取值范围扩大为全体实数所以当求得的x值恰好使最简公分撐为零时x的值就是增根本题中方程②的解是x2恰好使公分撐为零所以x2是原方程的增根原方程无解 例2 解方程22321xxxx 解去分母后化为x13x22x 整理得0x8 因为此方程无解所以原分式方程无解 【说明】此方程化为整式方程后本身就无解当然原分式方程肯定就无解了此可见分式方程无解不一定就是产生增根 例32007湖北荆门若方程32xx=2mx无解则m=—————— 解原方程可化为32xx=2mx 方程两边都乘以x2得x3=m 解这个方程得x=3m 因为原方程无解所以这个解应是原方程的增根即x=2 所以2=3m解得m=1 故当m=1时原方程无解 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程而一元一次方程只有一个根所以如果这个根是原方程的增根那么原方程无解但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解随着以后所学知识的加深同学们便会明白其中的道理此处不再举例 例4当a为何值时关于x的方程223242axxxx①会产生增根 解方程两边都乘以x+2x-2得2x2ax3x2 整理得a1x10 ② 若原分式方程有增根则x2或2是方程②的根 把x2或2代入方程②中解得a4或6 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程然后找出使公分撐为零的未知数的值即为增根最后将增根代入转化得到的整式方程中求出原方程中所含字撐的值 若将此题“会产生增根”改为“无解”即 当a为何值时关于x的方程223242axxxx①无解 此时还要考虑转化后的整式方程a1x10本身无解的情况解法如下解方程两边都乘以x+2x-2得2x2ax3x2整理得a1x10 ② 若原方程无解则有两种情形 1当a10即a1时方程②为0x10此方程无解所以原方程无解。

2如果方程②的解恰好是原分式方程的增根那么原分式方程无解原方程若有增根增根为x2或2把x2或2代入方程②中求出a4或6 综上所述a1或a一或a6时原分式方程无解 结论弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意。