专接本高等数学题.docx

专接本高等数学题河北省普通高等学校专科接本科教育公共课考试高等数学题型分类与例题解析第一章函数极限连续一、函数1、求函数值［方法］将给定的自变量值代入函数解析式1)初等函数的函数值2)分段函数的函数值(/(仆)/而［方法］分段函数求函数值时〜首先确定属于函数表达式中自变量哪一段变化范围〜然后再将代入该段相应的表达式中例2设函数〜求jeCx|［x|＜，H：次亨耳靴亨卜孝解因为3)隐函数的函数值例3设方［方法］将自变量值代入确定隐函数的方程,解得就是所求的函数值程确定函数〜求尹兴e尸Mz㈤恒1=8解将代入方程式〜解得即为所求2、求初等函数的定义域［思路］利用基本初等函数的定义域和以下原则：两个函数之和，差，的定义域是各自定义域的交集Inxx例4求以下函数的定义域工〉口20(0,1)解，1,由不等式组得解集〜就是所求定义域了|之】0-1<-<1工”,K工说明题,2,中不等式如果化为〜将增加解题的难度/(^=也/1+s例5函数的定义域是，，⑷(一功.LL11©［一陶⑵I-L1］分析本题可以采用单项选择题的“特例排除法”求解注意4个备选答案的区别仅在于区间的端点〜因此只需检查-1和1是否在函数的定义域内。

X=-1A=1解使得表达式中分母为零〜使得表达式中对数的真数为零〜可见这两点都不在函数的定义域内——排除，B,,,C,,,D,〜选择,A,八昌/⑴例6设函数的定义域是［-4〜4］〜求函数的定义域-4<<4分析本题其实就是求不等式组的解集例7设函数的定义域是,0〜3,〜求函数的定义域恒=/⑴惘=/9#®于丁一划丁(或地、找LD分析参看例6〜只需求各自定义域的交集0

3,利用基本初等函数的已知奇偶性和以下结论：两个奇，偶，函数的和还是奇，偶，函数，两个奇，偶，函数的积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，两个奇函数的复合函y - cos k(A) 4寤3 (B) 4苑 tQ 2度◎厄数是奇函数，一个奇函数与一个偶函数的复合函数或两个偶函数的复合函数是偶函数注意,1,常数函数是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数2,奇函数与偶函数之和如果不包等于零〜则它既非奇y，Q函数又非偶函数3,定义域不是关于原点对称的区间的函数〜一定既非奇函数又非偶函数例9判断以下函数的奇偶性l）xsin—,⑵工二1;⑶⑷此立⑴解（1）两个奇函数之积〜是偶函数2）奇函数与偶函数之和〜非奇非偶函数3）定义域不关于原点对称〜非奇非偶4），但是-彳）=laf一月+土1）h/W|.例10函数的最小正周期是,,t1七GGS2a天3n2y=cos2K4范花/LILl_i.I.ii'解因〜而的周期是〜则周期是说明常数函数以任何非零实数为周期y”例11以下函数中哪些是周期函数，并写出其最小正周期(l)y=KSin为(2)y=\沏KI；(S)7=3U14+匚034oE解，1,不是周期函数，,2,借助于函数的图像〜可知周期是，,3,将表达式化为£in了+cosx=V25in（五十—j.4.2窗,A,等于0,B,等于1,C,等于0或1,D,不存在分析一个数列如果有两个子数列趋于不同的极限〜该数列极限一定不存在。

解选,D,火）例2,1,如果数列收敛、发散〜则一定发散吗，也一定发散吗，,2,如果数列、（居乂1十网）都发散〜则也发散吗，蚓&二白叶仅十八）一41g十乂"/居）解,1,必发散〜否则由极限运算法则〜存在但是不一定p金.=7-,|F_F>•"於Vn-工>3产7忖不.不才发散：当收敛但极限不是零时〜仿,1,可证明一定发散，但是当收敛于零时〜有可能收敛〜甲I掩如〜也有可能发散〜如国:十&制何“一感际十C滋）尸拗■,2,不一定发散例如都发散〜但是收敛2、求数列的极限（1）如果数列的通项公式能够写出，则得出通项公式再求极限例3求以下极限触强.壶…喜）3国安士,把阴战"啊01J_1一HL/1、，11.1~-7?—_t；—t-k=°一一）+（_一g+*1+《__—）=1--k（匕+D^Ar+l225n«1+1月+1解,1,〜=lim（1-=1"依,2,由等差数列求和公式：〜原式,3,原式其中用到等比数列求和公式ill1i.中.中？■+'l—l=Em2-143r=lim2矍—a静i电(2)利用极限存在的夹逼准则［思路］将数列分别适当放大和缩小到容易求出极限且极限相等的两个数列例4求极限闻hrri——胪，分析：本例的数列中不能表示为初等函数当自变量取自然数的特例〜因此不能用洛必达法则。

考虑用夹逼准则计算〜就是将数列适当地放缩成两个容易求出极限的数列拜一1）5-2）…3-2T/1、-lim-解注意〜而由夹逼准则(3)利用初等函数的极限lim/(工)"Afim工-八以•一森三［思路］如果数列可以表示为〜其中是实变量函数〜且，或，〜，或fan®很）=啊/㈤CO,〜贝黑参看例7,2,〜例8,1,3、初等函数的极限(1)利用初等函数的连续性例如等呼目3 =/㈤呼/［式明氟初=/(%)：［方法］设在连续〜则2)利用无穷小与无穷大的倒数关系limarctanfl/x)例5求极限1/j->cdym与ct独':一创.t要分别分析当时〜，另一方面函数当时〜极限分别存在但不相等因此本题计算左、右极限1Kf1-.1hnnarctan—=--Thmarctan一二—lirnarctan—.方有=k2十工2卜-ax解：〜可见极限不存在3)运用极限的四则运算法则al寸-3彳+27X-2例6求极限Xf/XrX分析这两个极限的共同特点是当时分式的分子、分母同时趋于零〜原因是分子、分母中都含有零因式〜因此只需将这个公因式分离出来并且约分即可士(r-lXjr+1)五+10|lim=Inn=-2-1~1)(x"2)11/一2解,1,原式。

[@42)7][11btn：~.=Hm,=—e(x-2)1白2+2)川小*2+24,2,将分子有理化〜则原式0说明分子分母同时趋于零的极限属于型未定式〜也可以用洛必达法则求解C皿0Tq乜-2)"13" +「2广例7求极限分析题,1,的特点是分式的分子、分母同时趋于无穷大这类极限的一般形式〜可以用所谓“无穷小量析出法”求解〜即用分子、分母中最高次幕j伏=max{%期))同时去除所有的项结果有3种可能:,1,时，原式；(2)时，原式;(3)时，原式解,1,用遍除分子、分母各项〜或直接用上述结论,2,:原式=3/2说明题,1,属于型未定式〜也可以用洛必达法则求解1+(匚产=蚓1，-,2,用遍除分式的每一项〜原式说明题,2,也可以用去除分子和分母的各项=lim例8求极限k部/抬汽x分析可以将视为的次幕因此题,1,可将分子、分母同除以，题,2,在有理化之后同除以解,1,原式例9求极限分析这是所谓型未定式〜需要将“差”化为“商”再求解通分即可皿［- 37 * ： -71解原式血―"必上科—=如匕:—=1xiQ■工)(1+工/z3)(l+r)I(1+7斗工々I-幻20丽(二-ax-&)=O'才一吗了一］例10已知〜求的值。

解由题设〜参看例7的分析可知〜必有工一 20 lim ( 一谶「心=litn耳i‘9 了一［ #Tg1s = %熄 f =「，曰=1 & = 1(4)利用“有界变量与无穷小的乘积是无穷小”例11以下极限计算错误的归一1~1?」上，xsui—0(17.Exuasji-=1(Eluuf~f'c^；£=0K孑TJ工*w工#+—分析(A)、(B)、(D)题都是有界变量与无穷小的乘积〜结果应是00(C)题经变量代换化为〜正是重要极限〜等于1解选,A,5)利用两个重要极限gitsV11L11m一—=l,limQ+-r0+一『=®口+幻#=空“f0工*卡0卸，口9J-TT［依据］解原式〜其中用到重要极限和有界量与无穷小的乘积例13求下列极限例12求极限解,1,原式.Hm1+［一)及”=(?.lim〃＞产必=日说明一般地〜有.此外〜注意极限，是常数,,2,原式.,3,原式.00广说明两个重要极限分别属于和型未定式〜也可以用洛必达法则求解2・1jfsm—hm—；——-3疝1xlimJ…口一也天hrrt矍TH232七fan(1+1(1+①的(汉史严，②出勤T时器XT■心蚪『2/■圾"初*工厂=lim1xsin—=1xO*0…sinxx(6)等价无穷小代换［依据］如果在同一极限过程中是等价无穷小：〜则X“㈤」⑶X现式”㈤k㈤八K)£in\\/,tan;r=；f*ln(j+H)—R,gY］〜/元rQ^常用的等价无穷小：当时〜，款1+元~1+£」-。

七$芯——n2等①仙—Li.⑵11mML加工*t"xsifixJ口(arcsin灯例14求极限分析这两题都都可以用洛必达法则求解，不过这里用等价无穷小代换求解更为简便//21=lim=9内~l*i解,1,当时，则原式，2,原式丁tanx(1-cosx)「忒耳32》1-to,--=L=ta--=-==一，xXs上//2(7)未定式极限：洛必达法则,见第二章，说明使用变量代换的技巧有时可以使极限的计算更为简便例15求极限13/+5,I11hm-sin-L--x--I*5x+3xxe£T或.0a解令〜则〜且当时有4、分段函数在分段点处的极限［思路］如果分段函数在分段点两侧不是同一表达式〜求极限时要分别计算左右极限，否则直接计。