小学六年级数学竞赛讲座 第14讲 数论总复习.pdf

第十四讲第十四讲 数论总复习数论总复习 模块一、数的整除 例 1．对于自然数 N，如果在 1~9 这九个自然数中至少有 6 个可以整除 N，则称 N 是一个“六合数” ，则在 大于 2000 的自然数中最小的“六合数”是 2016 解：如果这个数有 6 个约数 1、2、3、4、6、8、那么它只要被 24 整除即可，2016 就符合要求 例 2．试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除 的数 解：根据题义，所求的五位数不能有相同的数字，且奇数位数之和不能和偶数位数之和相同， 可得 98765 满足，并且是最大的 模块二、质合因倍 例 3．已知 a，b，c 是三个自然数，且 a 与 b 的最小公倍数是 60，a 与 c 的最小公倍数是 270，求 b 与 c 的 最小公倍数 解：60=22×3×5，270=2×33×5，a 是这两个数的公因数，(60，270)=2×3×5， 不论 a 取哪一个因数，因为[a，b]=60，所以 b 的因数中一定有 22=4， [a，c]=270，所以 c 的因数中一定有 33=27，即[b，c]最小值是 4×27=108， 若 b、c 中至少有一个含有因子 5，则最小公倍数[b，c]=5×108=540. 解 2：60=22×3×5，270=2×33×5，a 是这两个数的公因数，(60，270)=2×3×5， ① 当 a=1，b=60，c=270 时，b、c 的最小公倍数是 2×3×5×2×3×3=540； ②当 a=2，b=60，c=135 时，b、c 的最小公倍数是 540； ③当 a=3，b=20，c=270 时，b、c 的最小公倍数是 540； ④当 a=6，b=20，c=135 时，b、c 的最小公倍数是 540； ⑤当 a=5，b=2×2×3=12，c=3×3×3×2=54 时，b、c 的最小公倍数是 2×3×2×3×3=108； ⑥当 a=2×5=10，b=4×3=12，c=3×3×3=27 时，b、c 的最小公倍数是 2×2×3×3×3=108； ⑦当 a=3×5=15，b=2×2=4，c=3×3×3×2=54 时，b、c 的最小公倍数是 2×3×2×3×3=108； ⑧当 a=2×3×5=30，b=4，c=33=27 时，b、c 的最小公倍数是 4×27=108； 答：b 与 c 的最小公倍数是 540 或 108． 例 4．A 和 B 是两个非零自然数，A 是 B 的 24 倍，A 的因数的个数是 B 的 4 倍，那么 A 与 B 的和的最小值 是 。

解：A=24×B，24=23×3，所以 24 有 4×2=8 个因数， 设 B=2m×3n×cp，则 A=2 m+3 ×3 n+1 ×cp，A 的因数的个数是(m+4)×(n+2)×(p+1)， B 的因数的个数是(m+1)×(n+1)×(p+1)， 由题意(m+4)×(n+2)×(p+1)=4×(m+1)×(n+1)×(p+1)，所以(m+4)×(n+2)=4×(m+1)×(n+1)， mn+2m+4n+8=4mn+4m+4n+4，3mn+2m=4， 取 n=0，m=2，有 6×2=4×3×1，满足条件， 此时 B 的最小值是 4，有 3 个因数，A=96=25×3，有 12 个因数 A+B=96+4=100. 模块三、综合问题： 例 5．设六位数abcdef满足fabcdefabcdef，请写出这样的六位数 解：设abcde=x，则 f×105+x=f×(10x+f)， 52 10 101 ff x f    = 442 10(101)(10) 101 ff f   ， 所以 x= 22 4 (10)(10) 10 101 ff f    ，这样为了使 x 是整数，只有 f=1，4， 当 f=1 时，11abcdeabcde，得到 a=b=c=d=e=1，所以abcdef=111111. 当 f=4 时，444abcdeabcde ，得到 x=104+256=10256，所以abcdef=102564. 所以abcdef=111111 或 102564. 例 6． 有一个四位数， 它和 6 的积是一个完全立方数， 它和 6 的商是一个完全平方数， 那么这个四位数是 。

解：在这个四位数的因数中有 63m−1，同时满足 3m−2 是偶数，所以 m=2， 即一定含有 65=7776 这个因数，而它是一个四位数，就是 7776 例 7．如果 2×38能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为 解：设 k 个连续正整数中最小的正整数为 n， 则 k 个连续正整数的和为 8 (1) 2 3 2 nnkk  ， 整理得(k+2n−1)× k=22× 38， 明显 k 必然为 2p× 3q的形式（其中 p=0，1，2，q=0，1，2，3，4，5，6，7，8） 又因为 2n−10，所以 22× 38=(k+2n−1)× kk× k，所以 k2× 34， 所以 k 的最大值为 22× 33=108 将 k=108 代入得到 n=68，于是 68+69+70+…+175=13122=2× 38 例 8．有一列正整数，其中第 1 个数是 1，第 2 个数是 1、2 的最小公倍数，第 3 个数是 1、2、3 的最小公 倍数，…，第 n 个数是 1、2、…、n 的最小公倍数，那么这列数的前 100 个数中共有 个不同的值 解：第 1 个数是 1，第 2 个数是 1、2 的最小公倍数 2，第 3 个数是 1、2、3 的最小公倍数 6， 第 4 个数是 1、2、3、4 的最小公倍数 12，……，第 5 个数是 1、2、3、4、5 的最小公倍数 60， 第 6 个数是 1、2、3、4、5、6 的最小公倍数 60，……， 我们发现 n 是一个质数，那么 1、2、……、n 的最小公倍数就是前面没有出现的， 或者 n 的因数中含有某个因数的平方、立方、…，且在前面出现该数的方次中是最高的一个，那么 1、 2、……、n 的最小公倍数也是前面没有出现的， 所以不同的 n=1、2、3、5、7、11、13、…、97，这样的数有 26 个， 在加上 n=22、23、……、26；32、33、34；52；72；共 10 个， 26+10=36，所以这列数的前 100 个数中共有 36 个不同的值. 随随 堂堂 练练 习习 1．已知1 87 2aa是 2008 的倍数，则 a 的值是多少？ 解：由题意 108702+10010a 是 2008 的倍数， 108702÷2008=54……270，10010÷2008=4……1978， 即 108702+10010a≡270+1978a， （mod 2008） ≡270−(2008−1978)a， （mod 2008） ≡270−30a， （mod 2008） 当 a=9 时，270−30a=0， 所以 a=9 满足题意。

2．将自然数 1、2、3、……依次写下去组成一个数：12345678910111213……，写到某个自然数时，所组成 的数恰好第一次被 72 整除，那么这个自然数是多少？ 解：72=23×32，要求这个数能被 8 和 9 整除， 能被 9 整除，要求所有数字的和能被 9 整除， 任意 9 个连续自然数的数字和能被 9 整除， 所以任意 9 个连续自然数所组成的多位数一定能被 9 整除 123456789、123456789101112131415161718、……当写到 9、18、27、36、45….时都能被 9 整除 因为 9、18、27、36、45……本身又都是 9 的倍数， 所以写到 8、17、26、35、44、……时也都能被 9 整除 被 8 整除的数的特征是：末三位所组成的数能被 8 整除 考察 678、789、718、819、526、627、435 等都不能被 8 整除，而 536 能被 8 整除 又 12345678910111213…3536 可以被 72 整除所以这个自然数是 36. 3．将一个数的所有因数两两求和，在所有的和中，若最小的是 4，最大的是 180，则这个数是 。

解：一个数的所有因数中最小的是 1 最大的是本身， 设这个数为 x，则它的所有因数中两个最小的和为 1+a=4，解得 a=3，所以一定有一个因数为 3， 有因数是成对出现的，最大的因数是 x，倒数第二大的因数是 3 x ， 3 x +x=180，解得 x=135. 4．两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，写出这 两个数 解：设这两个数分别是 a=mp、b=np，其中 m，n 互质，由题意 m+n=16，mnp=1925， 1925=52×7×11，其中 5+11=16，可取 m=5、n=11、p=35， 于是 a=5×35=175，b=11×35=385 5．已知正整数 A 分解质因数可以写成 A=2α×3β×5γ，其中 α、β、γ 是自然数，如果 A 的二分之一是完全平方 数，A 的三分之一是完全立方数，A 的五分之一是某个自然数的五次方，那么 α+β+γ 的最小值是 解：A=2α×3β×5γ， 2 A =2α−1×3β×5γ是完全平方数，所以 α−1、β、γ 都是 2 的倍数， 3 A =2α×3β−1×5γ是完全立方数，所以 α、β−1、γ 都是 3 的倍数， 5 A =2α×3β×5γ−1是自然数的五次方，所以 α、β、γ−1 都是 5 的倍数， 当 α=15，β=10，γ=6 时满足要求，所以 α+β+γ=15+10+6=31. 6．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一数位上的数字整除。

解：该数是奇数，所以个位数字是奇数 1、3、5、7、9，又这个数能被每一位数字整除， 所以这些数字都不会是偶数，只能从 1、3、5、7、9 中选取，且各不相同， 其中取 3 个数字，任何 3 个数字的和都不能被 9 整除，所以排除 9， 如果选取 3，则只有 1、3、5 三个数的和能被 3 整除，或 3、5、7 三个数的和能被 3 整除， 有 135 和 315 能被 1、3、5 整除；或 735 能被 3、5、7 整除； 如果不取 3，只剩下 1、5、7，其中 175 能被 1、7、5 整除； 所以三位数是 135、315、175、735. 7．三个两位奇数，它们的最大公约数是 1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有 18 个约数，求 所有满足要求的情况 解：18=1×18=2×9=3×6=2×3×3，所以这个最小公倍数可能的形式是 a×b8，a2×b5，a×b2×c2， 其中只有 a×b2×c2最合理，且 a、b、c 中不能有 2，且都是质数，最好是 3、5、7、11、 又三个数两两均不互质，其中至少有两个平方，不妨设为 a2，b2， 若 a=3，a2=9，32×5=45，32×7=63，32×11=99，只有这三种形式； 若 b=5，b2=25，b2×3=75，只有这一种形式， 三个数可以是 a2×c，b2×a，b×c， 取 a=3、b=5、c=7 时，可以得到 b×c=35、a2×c =63、a×b2=75； 取 a=3、b=5、c=11 时，可以得到 b×c=55、a2×c =99、a×b2=75。

所以三个两位奇数分别是（35、63、75）和（55、75、99）. 8．有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个自然数的和，还能表示成 7 个自然数的和例 如： 105 就满足上述要求， 105=19+20+21+22+23； 105=15+16+17+18+19+20； 105=12+13+14+15+16+17+18 请问：在 1~1000 中一共有多少个满足上述要求的数？ 解：能表示成 5 个。