【免积分】考研数三完整版(历年真题+答案详解)(2003-2010)真题之2008.doc

1 -2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题一、选择题：一、选择题：1～～8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数( )f x在区间[ 1,1]上连续，则0x 是函数0( ) ( )xf t dt g xx的（ ） A跳跃间断点. B可去间断点. C无穷间断点. D振荡间断点.（2）曲线段方程为( )yf x，函数( )f x在区间[0, ]a上有连续的导数，则定积分0( )atafx dx等于（ ） A曲边梯形ABCD面积.  B梯形ABCD面积. C曲边三角形ACD面积. D三角形ACD面积.（3）已知24( , )xyf x ye，则（A）(0,0)xf，(0,0)yf都存在 （B）(0,0)xf不存在，(0,0)yf存在（C）(0,0)xf不存在，(0,0)yf不存在 （D）(0,0)xf，(0,0)yf都不存在（4）设函数f连续，若2222()( , )uvDf xyf u vdxdy xy ，其中uvD为图中阴影部分，则F u（ ）（A）2()vf u （B）2()vf uu（C）( )vf u （D）( )vf uu（5）设A为阶非 0 矩阵E为阶单位矩阵若30A ，则（ ） AEA不可逆，EA不可逆. BEA不可逆，EA可逆. CEA可逆，EA可逆. DEA可逆，EA不可逆. （6）设12 21A则在实数域上域与A合同矩阵为（ ）- 2 - A21 12 . B2112 . C21 12 .  D12 21 . （7）随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为 F x，则max,ZX Y分布函数为（ ）  A  2Fx.  B    F x F y. C  211F x.  D   11F xF y. （8）随机变量~0,1X N，~1,4Y N且相关系数1XY，则（ ） A 211P YX . B211P YX. C211P YX . D211P YX. 二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21, ( )2,xxc f xxcx 在(,) 内连续，则c  . （10）设341()1xxf xxx，则2 22( )______f x dx .（11）设22{( , )1}Dx y xy，则2()Dxy dxdy.（12）微分方程0xyy满足条件(1)1y的解y .（13）设 3 阶矩阵A的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则14_____AE.（14）设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则2P XEX.三、解答题：三、解答题：15－－23 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分）求极限201sinlimln xx xx.(16) （本题满分 10 分）设( , )zz x y是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中具有 2 阶导数且1  时.- 3 -（1）求dz（2）记1,zzu x yxyxy，求u x .(17) （本题满分 11 分）计算max(,1),Dxydxdy其中{( , ) 02,02}Dx yxy.(18) （本题满分 10 分）设 f x是周期为 2 的连续函数，（1）证明对任意实数t，有  220ttf x dxf x dx；（2）证明   202xttG xf tf s ds dt是周期为 2 的周期函数．(19) （本题满分 10 分）设银行存款的年利率为0.05r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实现 第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规 律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设矩阵2221212n naaaAaa   ，现矩阵A满足方程AXB，其中1,,T nXxx，1,0,,0B ，（1）求证1nAna;（2）a为何值，方程组有唯一解; （3）a为何值，方程组有无穷多解. （21） （本题满分 10 分）设A为 3 阶矩阵，12,a a为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3a满足323Aaaa，证明（1）123,,a a a线性无关；（2）令123,,Pa a a，求1P AP.（22） （本题满分 11 分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为11,0,13P Xii ，Y的概率密度为 1010Yyfy 其它，记ZXY- 4 -（1）求102P ZX；（2）求Z的概率密度． （23） （本题满分 11 分）12,,,nXXX是总体为2( ,)N 的简单随机样本.记11ni iXXn，2211()1ni iSXXn，221TXSn.（1）证 T是2的无偏估计量.（2）当0,1时 ，求DT.- 5 -2008 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析 一、选择题(1)【答案】B【详解】   0000( ) lim ( )limlim0xxxxf t dt g xf xfx，所以0x 是函数( )g x的可去间断点．(2)【答案】C【详解】00000( )( )( )( )( )( )aaaaaxfx dxxdf xxf xf x dx af af x dx其中( )af a是矩形 ABOC 面积， 0( )af x dx为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 0( )axfx dx为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】240000( ,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0xxxxxxf xfeefxxx0011limlim1xxxxee xx， 0011limlim1xxxxee xx 故(0,0)xf不存在．242020000(0, )(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以(0,0)yf存在．故选B.(4)【答案】A【详解】用极坐标得 222 ()222011,()vuuf r r Df uvF u vdudvdvrdrvf r dr uv 所以  2Fvf uu.(5)【答案】C【详解】23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE.故,EA EA均可逆．(6)【答案】D【详解】记12 21D，则2121421ED又- 6 -2121421EA，所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】     2max,ZZZZFzP ZzPX YzP Xz P YzFz FzFz.(8)【答案】D 【详解】 用排除法. 设YaXb，由1XY，知道,X Y正相关，得0a ，排除 A、 C由~(0,1),~(1,4)XNYN，得0,1,EXEY 所以 ( )()E YE aXbaEXb01,ab  所以1b . 排除 B. 故选择 D.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知|| 0cx，所以22,( )1,2,xxcf xxcxcxxc    因为  22limlim(1)1 xcxcf xxc ， 22limlim xcxcf xxc又因为( )f x在(,) 内连续，( )f x必在xc处连续所以   limlim( ) xcxcf xf xf c ，即2211ccc .(10)【答案】1ln32【详解】22 211 1 112xxxxfxxxxxx，令1txx，得 22tf tt所以  2 22 22 22 2222111ln2ln6ln2ln32222xf x dxdxxx.(11)【答案】4【详解】22221()2DDDxy dxdyx dxdyxy dxdy利用函数奇偶性- 7 -212001 24dr rdr.(12)【答案】1yx【详解】由dyy dxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1)1y，所以1yx.(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2，所以1A的特征值为1,1 2,1 2，所以14AE的特征值为4 1 13  ，4 1 2 11 ，4 1 2 11 所以143 1 13BE   .(14)【答案】11 2e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为 1 的泊松分布，所以1DXEX，所以21 12EX  ，所以 2 1111222P Xee！.三、解答题(15) 【详解】方法一方法一：22001sin1sinlimlnlimln 11 xxxx xxxx32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxx xxx  方法二方法二：2230001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxx xxxxx洛必达法则20sin1lim66xxx x 洛必达法则(16) 【详解】(I)  22xdxydydzxyzdxdydz122dzx dxy dy  22 1x dxy dydz  1  (II) 由上一问可知22,11zxzy xy ，- 8 -所以 11221222,()()1111zzxyyxu x yxyxyxyxy 所。