高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理.doc

0必修必修 1 1 第二章基本初等函数第二章基本初等函数(Ⅰ)(Ⅰ)知识点整理知识点整理〖2.1〗〖2.1〗指数函数指数函数 2.1.12.1.1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号,,,1nxa aR xR nnNxannan表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0 的次方根是nanannannan0；负数没有次方根．an②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．nananan0a ③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．()nnaannnaan(0)||(0) nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分(0,,,m nmnaaam nN1)n 数指数幂的意义是：且．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：注意口诀：11( )( ) (0,,,mm mnnnaam nNaa1)n 底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质① ② ③(0, ,)rsr saaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR2.1.22.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1） ，即当 x=0 时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数Rxay  xy(0,1)O1y  xay  xy(0,1)O1y  1函数值的变化情况y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)变化对a图象的影响在第一象限内，越大图象越高，越靠近 y 轴；a在第二象限内，越大图象越低，越靠近 xa轴．在第一象限内，越小图象越高，越靠近 y 轴；a在第二象限内，越小图象越低，越靠近 x 轴．a〖2.2〗〖2.2〗对数函数对数函数 【2.2.1】【2.2.1】对数与对数运算对数与对数运算（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．(0,1)xaN aa且xaNlogaxNaN②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．log(0,1,0)x axNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式: ，，．log 10alog1aa logb aab（3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…） ．lg N10logNln NlogeN2.71828e （4）对数的运算性质 如果，那么0,1,0,0aaMN①加法： ②减法：logloglog ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN③数乘： ④loglog()n aanMMnRlogaNaN⑤ ⑥换底公式：loglog(0,)bn aanMM bnRbloglog(0,1)logb a bNNbba且【2.2.2】【2.2.2】对数函数及其性质对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)xyO(1,0)1x  logayx xyO(1,0)1x  logayx 2值域R过定点图象过定点，即当时，．(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx变化对 图a象的影响在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近 xa轴在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近 ya轴在第一象限内，越小图象越靠低，越靠近 x 轴a在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近 y 轴a(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中( )yf xAC( )yf xx( )xyyC的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，( )xyxA( )xyxy函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．( )xy( )yf x1( )xfy1( )yfx（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；( )yf x1( )xfy③将改写成，并注明反函数的定义域．1( )xfy1( )yfx（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．( )yf x1( )yfxyx②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．( )yf x1( )yfx③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．( , )P a b( )yf x'( , )P b a1( )yfx④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．( )yf x3〖2.3〗〖2.3〗幂函数幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象y限． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． (0,)(1,1)③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在0[0,)0上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．(0,)xy④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和q p, p qp） ，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数qZp pyxp pyxp为奇数时，则是非奇非偶函数． pyx⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象,(0,)yxx101xyx1x 4在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．yx101xyx1x yx〖〖补充知识补充知识〗〗二次函数二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：2( )(0)f xaxbxc a2( )()(0)f xa xhk a③两根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．x( )f x（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是2( )(0)f xaxbxc a,2bxa 24(,)24bacb aa②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，0a (,]2b a [,)2b a2bxa ；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当2min4( )4acbfxa0a (,]2b a [,)2b a时，．2bxa 2max4( )4acbfxa③二次函数当时，图象与轴有两个交点2( )(0)f xaxbxc a240bac x．11221212( ,0),( ,0),|| ||| |M xMxM Mxxa（4）一元二次方程根的分布20(0)axbxca一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个20(0)axbxca12,x x12xx2( )f xaxbxc方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号． a2bxa ①k＜x1≤x2 5xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf②x1≤x2＜k xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf③x1＜k＜x2 af(k)＜00)(kfxy1x2x0aOk xy1x2xOk0a0)(kf④k1＜x1≤x2＜k2 xy1x2x0aO 1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO 0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0这两种情况是否也符合6xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数在闭区间上的最值2( )(0)f xaxbxc a[ , ]p q设在区间上的最大值为最大值为，最小值为，最小值为，令．( )f x[ , ]p qMm01()2xpq（Ⅰ）当时（开口向上）0a ①若，则 ②若，则 ③若，则2bpa( )mf p2bpqa ()2bmfa2bqa( )mf q①若，则 ②，则02bxa( )Mf q02bxa( )Mf p(Ⅱ)当时(开口向下)0a ①若，则 ②若，则 ③若，则2bpa( )Mf p2bpqa ()2bMfa2bqa( )Mf qf (p)f (q)()2bfaf (p)f (q)()2bfaf (p)f (q)()2bfaf (p)f (q)()2bfag0xf (p)f (q)()2bfa0xgf (p)f (q)()2bfa f (p)f (q)()2bfaf (p)f (q)()2bfa7①若，则 ②，则．02bxa( )mf q02bxa( )mf pf (p)f (q)()2bfa0xgf (p)f (q)()2bfag0x。