2003年全国统一高考数学试卷(河南卷).doc

2003年普通高等学校招生全国统一考试（河南卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪河南）若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为A.B.C.D.2. （2003▪河南）抛物线的准线方程是，则的值为A.B.C.8D.﹣83. （2003▪河南）已知，，，则A.B.C.D.4. （2003▪河南）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点、），则A.，，B.，，C.，，D.，，5. （2003▪河南）设函数，若，则的取值范围是A.，B.，C.，，D.，，6. （2003▪河南）等差数列中，已知，，，则为A.48B.49C.50D.517. （2003▪河南）函数，，的反函数为A.，，B.，，C.，，D.，，8. （2003▪河南）棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.B.C.D.9. （2003▪河南）设，，曲线在点，处的切线的倾斜角的取值范围为，，则到曲线对称轴距离的取值范围为A.，B.，C.，D.，10. （2003▪河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A.B.C.D.11. （2003▪河南）已知长方形的四个顶点，，，，，和，.一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点，和（入射角等于反射角）.设的坐标为，，若，则的取值范围是A.，B.，C.，D.，12. （2003▪河南）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.B.C.D.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪河南）展开式中的系数是________________.14. （2003▪河南）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15. （2003▪河南）对于四面体，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）16. （2003▪河南）将三种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有________种（以数字作答）.三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）17. （2003▪河南）已知函数.⑴求函数的最小正周期和最大值；⑵在给出的直角坐标系中，画出函数在区间，上的图象.18. （2003▪河南）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）19. （2003▪河南）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心.⑴求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；⑵求点到平面的距离.20. （2003▪河南）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.21. （2003▪河南）已知常数，向量，，，，经过原点以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.22. （2003▪河南）已知，为正整数．⑴设，证明；⑵设，对任意，证明.2003年辽宁省高考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（　　）A． B． C． D．【分析】题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式．【解答】解：∵曲线关于原点对称的曲线，∴只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式，即﹣y=，整理，得．故选A．【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷．　2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（　　）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．　3．（5分）（2003•天津）=（　　）A． B． C． D．【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．【解答】解：=故选B．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题．　4．（5分）（2003•辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（　　）A． B．C． D．【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得，，运用向量的加法运算可得=λ（+），λ∈（0，1）．【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得．设，则λ∈（0，1）且．于是=λ（+），λ∈（0，1）．故选A．【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义．属基础题．　5．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．　6．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（　　）A．48 B．49 C．50 D．51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．　7．（5分）（2003•天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（　　）A．，x∈（0，+∞） B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0） D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．　8．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（　　）A． B． C． D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．　9．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（　　）A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．　10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．　11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（　　）A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．　12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）A．3π B．4π C．3 D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶。