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复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要一、 复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念1、 由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x因此有人说复合函数是函数的函数为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数从外向内看，函数y=f［g(x)］中称f定义的函数y=f(u)为外层函数（外函数），称g定义的函数u=g(x)为内层函数（内函数），且称函数y=f［g(x)］为函数f和g复合一次得到这里外层函数的映射法则f和内层函数的映射法则g构作的复合函数的映射法则称为复合映射fg（注意：不能把fg读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即fg≠gf，这是复合映射很重要的一个基本特征）有人形容复合映射fg是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵2、 从函数定义理解既然函数y=f［g(x)］可视为函数y=f(u)和函数u=g(x)复合得到，因而它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。

除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求设函数u=g(x)的定义域是D，值域是M再设y=f(u)的定义域是N，值域是R，则D、M、N、R都是非空的数集从“复合”中我们发现内层函数u=g(x)具有二重性：一方面它是自变量x的函数，当x∈D时，则有g(x)∈M；另一方面它又是函数y=f(u)的自变量，当g(x)=u∈N时，则有y=f(u)∈R要使y=f(u)仍然是函数，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定义域N必须有交集（非空数集）MNф是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数y=f(u)的定义域N，既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数u=g(x)的值域M的限定只看一面，不看另一面就会犯概念的错误有的同学不加分析地认为任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如y= ln ( sin x –2),y=arc cos(x+2)等都不是复合函数，因为y=ln u是自然对数，定义域N必须符合u >0 (u∈N),但u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有MN=｛u︱u>0｝｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能构成复合函数。

同理,y=arccos(x+2)也不能构成复合函数（它们都不是函数）据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的它忽视了构造复合函数y=f［g(x)］过程中各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义为此，我们把定义补充为：如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=g(x)，且对于x值所对应的u值，函数y=f(u)是有定义的, 即y=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，MN=ф,则y关于x的函数y= f［g(x)］叫做f和g的复合函数 3、从结构特征理解除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构特征，使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数，也使我们明白复合函数不是一类新的独立的基本初等函数，而是几个简单函数的特殊构造，因而使我们能从参与复合的简单函数的性态研究复合函数的相应属性 4、从穿脱原理理解 穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具，由它可将简单函数构造成复合函数，也可将复合函数分拆为简单函数。

先看复合例如由y=3，u=sin v , v=,欲得到复合函数，可从外层函数开始，逐次代换添加映射，每代换一次增加一个映射，即y=3=3=3，最后得到y关于x的复合函数y=3一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的复合过程可记为y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}再看分拆例如函数y= ln sin可以从外层函数开始逐层拆为简单函数，每拆一层，设一个中间变量，即最外层函数记为y=ln u，第二层记为u=sin v，第三层记为v=t，第四层记为t=x+1上述多次令中间变量进行的代换，叫做连续代换或锁链代换，实质上是换元法 穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念，在复合函数的性态研究中具有重要作用例如复合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、极值，求反函数时都需要它，一些重要运算，如求导、微分更必须依靠它由 二、 复合函数初等性质举要 在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的基本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性，极值与最值探讨中，最关键的是注意复合映射的多层制约，是否使符合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。

1、求定义域 因为多层复合映射结构复杂，使求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下 （1）已知复合函数的表达式，求复合函数的定义域 将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数，根据使函数解析式有定义的要求，由外到内列全限制条件对应的不等式，所得不等式组的解集就是复合函数的定义域例1、 函数y=的定义域解：要使函数y=有意义，须满足log≥0 （使根式有意义）,log>0 （使对数有意义）,x+1>0 （使对数有意义）,解得 –1 ≤ x < – 或 < x ≤ 1,故所求函数的定义域为［–1, –）∪（,1） （2）已知函数y = f (x) 的定义域，求复合函数y=f［g(x)］的定义域 因为f代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成x的不等式，再将x换成中间变量 g ( x )，解所得不等式即可例2、 已知函数y = f (x) 的定义域是［0,1］，求函数 y = f (sin x–cos x )的定义域解：由题设知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤ x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函数y = f (sin x–cos x )的定义域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。

实质是从已知复合函数中x的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围或内层函数的值域）例3、已知函数y = f ()的定义域是［100,1000］，求函数y = f (x ) 的定义域解：由100≤x≤1000 得，2≤ lg x ≤3.∴1≤lg x –1≤2 ∴ ≤ ≤1.故函数y = f (x) 的定义域是［,1］. 2、求函数表达式 中学阶段求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式 （1）已知中间变量，求复合函数 用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式代换外层函数的自变量解出每次代换只看一层，只代换一个中间变量函数的映射法则是对自变量单x定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单x的运算表示例4、 已知函数f ( x ) =，求函数f［f(x)］的表达式解：∵f ( x ) =∴f［f(x)］= f() = = （2）已知复合函数，求原函数 关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数用中间变量的整体作自变量的映射法则，常用配凑法，换元法，待定系数法等。

例5、 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 解：设cos x –1 = t,则cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，故 f(x) = (x+1) ， (–2≤ x ≤0) （3）已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式 中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征采用代换方法建立方程组，消元解之例6、 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n为奇数，求函数 f ( x )解：由已知用–x代换x，由于n为奇数，有a f(–x)+ f(x) = –bx 结合已知条件，可解得f(x) = ，而a≠1，n为奇数，故f(x) = （4）已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函数先由已知复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数例7、 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函数f (x-3) 解：设 t=x+3,则x=t–3,有f ( t ) = (t-3)+ 2 (t-3)+1 = (t-2)，∴f(x) = (x-2)，故f (x-3) = ［(x-3)-2］=（x-5）。

3、求值域 在复合函数定义域上，先求出最内层函数的值域，再用它作中间函数的“自变量”求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域例8．求函数y= arc cos (sin x) (-