欧拉积分习题课.ppt

二、欧拉积分(格马函数）(贝塔函数)(一) Γ函数 基本问题: 1.Γ函数的定义域; 2.Γ函数在其定义域是否连续; 3.Γ函数在其定义域是否可导,如果求其导数. 特色问题: 4.Γ函数的递推性; 5.Γ函数的图象特征; 6.Γ函数的延拓.1. Γ函数的定义域(收敛域)Γ函数定义域,就是其收敛域!将Γ函数表示为：当时,为函数的瑕点.先讨论的敛散性.复习:若则当时,无穷积分收敛;当时,无穷积分发散.因故对任意收敛.复习:设为函数的瑕点若则当时,瑕积分收敛;当时,瑕积分发散.关于瑕积分此时, 当s>0时, 收敛.当s≤0时发散综上所述:的收敛域为: s>0温馨提示:当时,都收敛!2. Γ函数的连续性只要证 与都在s>0连续.只要证与都在任意闭区间[a,b](a>0)连续只要证与都在任意闭区间一致收敛.只要证与都在任意闭区间一致收敛.先讨论：此时有进而有而收敛, 由M—判别法,在任意闭区间一致收敛,进而在任意闭区间连续,即在连续.对于此时有进而有而收敛, 由M—判别法,在任意闭区间一致收敛,进而在任意闭区间连续,即在连续.综上所述: Γ函数在任意闭区间一致收敛,进而在连续,由的任意性得: Γ函数在其定义域连续.3. Γ函数的可导性用完全类似的方法可以证明:在任意闭区间一致收敛.由此得: Γ函数在可微,且更一般地, Γ函数在有任意阶导数,且4. Γ函数的递推性递推公式:5. Γ函数的极值、凸性与图象(1) 因为对一切s>0,有 ( Γ(s)的图象位于s轴的上方).(2)( Γ(s)在s>0是凸的).(3)( Γ(s)有唯一的极小值点, 落在在(1,2)内)5. Γ函数的延拓Γ函数的定义域为:延拓Γ(s), 使其几乎在整条数轴上有定义. 延拓的原则: (1) 延拓后的函数在s>0处保持不变; (2) 延拓后的函数仍具有递推性.Γ(s)的递推公式为:即(★)当-1