各种圆定理总结.doc

费尔巴赫定理费尔巴赫定理费尔巴赫定理 三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于 1822 年提出费尔巴赫定理的证明费尔巴赫定理的证明在不等边△ABC 中,设 O,H,I,Q,Ia 分别表示△ABC 的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A 所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra 分别表示△ABC 的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A 所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c.易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)]在△AHI 中，由余弦定理可求得:HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;在△AHO 中，由余弦定理可求得:HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;在△AIO 中，由余弦定理可求得:OI^2=R(R-2r).∵九点圆心段 HO 的中点,∴在△HIO 中，由中线公式可求得.4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R-2r)^2故 IQ=(R-2r)/2.又△ABC 的九点圆半径为 R/2,所以九点圆与内切圆的圆心距为d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此 三角形的九点圆与内切圆内切。

在△AHIa 中，由余弦定理可求得:IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;在△AOIa 中，由余弦定理可求得:IaO^2=R(R+2ra).在△HIaO 中，由中线公式可求得.4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2故 IaQ=(R+2ra)/2.九点圆与∠A 的旁切圆的圆心距为d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.故三角形的九点圆与∠A 的旁切圆外切因此 三角形的九点圆与旁切圆外切 托勒密定理一些圆定理.doc 定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理的提出一般几何教科书中的 “托勒密定理”，实出自依巴谷 (Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出 证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

在任意四边形 ABCD 中，作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即 BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED 相似. BC/ED=AC/AD 即 ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为 BE+ED≥BD （仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即 “托勒密定理 ”） 所以命题得证 复数证明 用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是： (a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d) 首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式 得 等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价 四点不限于同一 平面 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设 ABCD 是圆内接四边形 在弦 BC 上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB 上，∠ADB = ∠ACB 在 AC 上取一点 K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD 因此△ABK 与△DBC 相似，同理也有 △ABD ~ △KBC 因此 AK/AB = CD/BD，且 CK/BC = DA/BD； 因此 AK·BD = AB·CD，且 CK·BD = BC·DA； 两式相加，得 (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但 AK+CK = AC，因此 AC·BD = AB·CD + BC·DA 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包 矩形的面积)等于两组对边乘积之和 (一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形 ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 证明：如图 1，过 C 作 CP 交 BD 于 P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得 AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得 AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即 AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 推论1.任意凸四边形 ABCD，必有 AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号 2.托勒密定理的 逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式 ：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线 简单的证明：复数恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式 AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共圆等价 2.四点不限于同一平面 欧拉定理：在一条线段上 AD 上，顺次标有 B、C 两点，则 AD·BC+AB·CD=AC·BD塞瓦定理简介塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现 具体内容塞瓦定理 在△ABC 内任取一点 O， 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用 梅涅劳斯定理 证明： ∵△ADC 被直线 BOE 所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD 被直线 COF 所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高 CD、AE、BF 交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理 ; 三角形三条中线交于一点（ 重心）:如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB于是 AL、BM、CN 三线交于一点的充要条件是 λμν=1注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1） 塞瓦定理推论1.设 E 是△ABD 内任意一点， AE、BE、DE 分别交对边于 C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K 为未知参数）且 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K 为未知参数）又由梅涅劳斯定理得： (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图，对于圆周上顺次 6 点 A,B,C,D,E,F，直线 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)] *[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高 CD、AE、BF 交于一点梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的它指出：如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 或：设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 证明一：过点 A 作 AG∥BC 交 DF 的延长线于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得： (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二：过点 C 作 CP∥DF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E 分别在△ABC 的边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则 F、D、E 三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线 梅涅劳斯 (Menelaus)定理证明三：过 ABC 三点向三边引垂线 AA'BB'CC'， 所以 AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四：连接 BF （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（。