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混合纠缠态的几何描述 Ξ 石名俊 1)2) 杜江峰 1)2) 朱栋培 2) 阮图南 2) 1) (中国科学技术大学量子通讯和量子计算开放实验室,合肥 230026) 2) (中国科学技术大学近代物理系,合肥 230027) (2000年1月26日收到;2000年4月20日收到修改稿) 给出了Hilbert2Schmidt(H2 S) 空间中密度矩阵的向量表示,建立了完整的H2S空间中的度规,由此将混合纠缠 态的判据纳入到直观的几何图像中,讨论了最大混合态附近可分离态的紧致邻域,得到了关于该邻域体积测度的 更强的结果. Ξ国家自然科学基金(批准号:19875050和6773052)及中国科学院院长基金资助的课题. 关键词:纠缠,混合态, Hilbert2Schmidt空间 PACC: 0365 , 3330 , 4230 1 引言 对于一个多体量子系统,如果其子系统之间在 某个时间间隔内有过相互作用,那么,即使在这以后 它们彼此相距甚远且没有任何联系,也不能想当然 地孤立地研究这些子系统的性质,并希望从中得出 有关整个系统的正确描述[1].这些子系统之间表现 出来的关联无法用经典的定域实在论(local realism) 来解释,就是说,无法赋予这些子系统确定的量子态 及确定的实在性,否则得到的结果将与量子力学的 理论预言和实验结果相悖[2 —8]. 我们把这种不符合 直觉的奇特的关联现象称为量子纠缠(quantum en2 tanglement)或量子关联(quantum correlation) . 量子纠缠的奇特之处及其在理论和实验上的重 要意义见诸近来大量文献[6 —14]. 具有纠缠现象的量 子系统的量子态称为纠缠态(entangled states) ,它可 以是纯态,也可以是混合态.在物理上,纠缠态意味 着非定域性,即不能由各个子系统的定域操作来实 现;在数学上,纠缠态意味着其密度矩阵无法分解为 各子系统的态构成的直积态的凸和形式,是为不可 分离性(inseparability) [15]. 本文认为,量子纠缠或量 子关联与不可分离性是等价的,并将不加区分地使 用这些概念. 一个重要的问题是,如何判定一个给定的量子 态是否为纠缠态,或者说,一种关联是否为量子关 联,一个密度矩阵是否不可分离.考虑到量子关联是 相对于经典关联而言,不可分离性是相对于可分离 性而言,那么,可以首先研究具有经典关联的可分离 态所必然具备的共同性质,不具备此类性质的态则 是纠缠态. 本文第三节综述了可分离态的一些固有性质, 相应地得到了不可分离态的判据.基于第二节引入 的Hilbert2Schmidt空间及密度矩阵在该空间中的 向量表示,将所讨论的内容纳入到一个具体的几何 框架中并给出了直观的解释,第四节以此得到了有 关可分离态区域的一个更强的结果. 作两点说明 :1) 本文中主要讨论的物理对象是 由两个自旋为1/ 2的粒子构成的两体系统.由于每 个粒子都在二维Hilbert空间中描述.把这一两体系 统简单地记作2×2系统,类似地也可以有2×3 ,3 ×3等两体系统 . 2) 除了对于可分离的量子系统和 量子态,不应该声称子系统具有怎样的量子态,但 是,为了叙述方便,在下文中会出现这类描述,这只 是一种数学形式上的表达而不意味着本文承认这类 描述的物理意义. 2 密度矩阵Hilbert2Schmidt空间 211 Hilbert空间 设A , B为2×2量子系统的两个子系统,它们 分别用两个二维Hilbert空间H A 和H B 描述,描述 第49卷 第10期2000年10月 100023290/ 2000/ 49(10)/ 1912207 物 理 学 报 ACTA PHYSICA SINICA Vol. 49 ,No. 10 ,October ,2000 ν2000 Chin. Phys. Soc. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 整个系统的是一个四维Hilbert空间H= H A “H B. H A 和H B 的基为各自Pauli矩阵σ3( 即σ z)的两 个正交归一的本征向量,即 |0〉A (B) = 1 0 A (B) ,|1〉 A (B) = 0 1 A (B) .(1) H的基由(1)式的直积构成,即 |00〉,|01〉,|10〉,|11〉, (2) 这里将|i〉A“|j〉B简写为|ij〉,于是系统的纯的量 子态可以一般地表示为 |Ψ〉= c0|00〉+ c1|01〉+ c2|10〉+ c3|11〉, (3) 其中ci为复数,且满足 ∑ 3 i= 0| ci| 2 = 1. 定义1 如果2×2量子系统某个纯态|Ψ〉 可以 表示为子系统的纯态的直积,即 |Ψ〉=|ψ〉A“|φ〉B ,|ψ〉A∈H A ,|φ〉B=H B , (4) 则该纯态为可分离态,否则为纠缠态. 212 密度矩阵 对于混合态,需要用密度矩阵来描述.一般地, 密度矩阵可表示为 ρ= ∑ N i =1 pi|Ψi〉 〈Ψi|, (5) 其中N为任一自然数, pi≥0且 ∑ N i= 1 pi= 1,|Ψi〉 ∈H, 各个|Ψi〉 归一但不一定彼此正交,将所有2×2量 子系统的量子态的集合记作T. 定义2 如果2×2量子系统某一量子态的密度 矩阵可以表示为其子系统的密度矩阵的直积的有限 凸和,即 ρ= ∑ M i =1 piρ A i “ρ B i, (6) 其中M为任一自然数, pi≥0且 ∑ M i= 1 pi= 1,ρ A i和ρ B i 分别为子系统的A , B的密度矩阵,那么该量子态是 可分离态,否则为纠缠态. 实际上 , ( 6)式中的ρ A i 和ρ B i均可视作投影算 子, 即ρ A i=Pi=|ψi〉〈ψi|,ρ B i=Qi=|φi〉〈φi|,于是(6) 式有等价形式 ρ= ∑ M i =1 piPi“Qi.(7) 直观地,我们认为,可分离的态应该表示为ρ=ρ A “ ρ B ,但是,在更广泛的意义上,定义2意味着由(6)式 描述的两体系统可以通过对子系统的定域操作来实 现,即在一定的概率pi下,子系统A处于态ρ A i,同 时子系统B处于态ρ B i. A和B之间仅有的关联是概 率分布{ pi} ,或者说,这一关联来自于一个具有概率 分布{ pi}的隐变量i.对由(6)式描述的系统的测量 结果可用经典概率论来解释,子系统间的关联为经 典关联,故(6)式定义了一种广泛意义上的可分离 态. 考虑到H空间的基(2)式,可以把(5)式表示为 ρ= ∑ 1 i , j =0 ∑ 1 α,β=0 Ciα, jβ|iα〉 〈jβ|. (8) 这里用罗马字母表示H A 中的基,用希腊字母表示 H B 中的基. 定义3 密度矩阵的偏迹(partial trace) ,约化 密度矩阵(reduced density matrices),给定形如(8)式 的密度矩阵ρ,有如下对A , B求偏迹的运算: TrAρ ≡∑ 1 i =0 〈i|ρ|i〉,TrBρ ≡∑ 1 α=0 〈 α|ρ|α〉.(9) 所得结果均为2×2矩阵,分别称作关于B , A的约 化密度矩阵,即 ρA=TrBρ,ρB=TrAρ.(10) 定义4 密度矩阵的部分转置(partial transpo2 sition),给定形如(8)式的密度矩阵 ,关于子系统A 的部分转置为 ρ TA = ∑ 1 i , j =0 ∑ 1 α,β=0 Ciα, jβ|jα〉 〈iβ|; (11) 关于子系统B的部分转置为 ρ TB = ∑ 1 i , j =0 ∑ 1 α,β=0 Ciα, jβ|iβ〉 〈jα|. (12) 要注意到ρA和ρ B满足所有密度矩阵的条件,即它 们确实是2×2的密度矩阵,而ρ TA和ρTB却不一定 满足密度矩阵的正定条件,它们可能不对应真正的 密度矩阵. 我们把所有可分离态的集合记作S,则S1.(32) 注意到当α递减地趋于1时, Sα(ρ)回到 S ( ρ ) . 对 于2×2量子系统,我们除了有(32)式的关于整个系 统的熵函数以外,还有关于子系统A , B的熵函数, 它们由ρA,ρ B得到,即 Sα(ρA ) = 1 1-α ln Trρ α A, Sα(ρB ) = 1 1-α ln Trρ α B. (33) 若整个系统是可分离的,则子系统间关联为经典关 联,其信息量间的关联应具有与(29)或(30)式类似 的特征,有[15] 定理5 对于任何可分离态ρ,下面的α熵不 等式成立. Sα(ρ)≥max i = A , BSα(ρ i ) , (α=1,2 ) . (34) 当α= 2时,22熵函数 S2(ρ) = -ln Trρ 2. (35) 利用(18)和(20)式,有 Trρ 2 = 1 4 (1+ r2+ s2+‖T‖ 2 ) , (36) Trρ 2 A= 1 2 (1+ r2 ) , Trρ 2 B= 1 2 (1+ s2 ) . (37) 于是 , ( 34)式在α= 2时等价于 ‖T‖ 2 ≤1- |r2- s2| .(38) 于是我们看到22熵不等式在几何图像中有着 简洁的表示.Bell不等式和22熵不等式都是量子态 可分离性的必要条件,但两者相比,后者更强,下面 的定理说明了这一点[26]. 定理6 给定任意一个2×2量子系统的量子 态,如果22熵不等式成立,则Bell不等式亦成立. 22熵函数中涉及到密度矩阵的平方,于是我们 再引入一个与此有关的定理[27]. 定理7 对2×2量子系统的量子态ρ和2×3 量子系统的量子态ρ ′,若它们分别满足 Tr(ρ 2) ≤ 1 3 ,Tr( ρ ′ 2) ≤ 1 5 ,(39) 那么该量子态是可分离态. 注意到定理7叙述的是可分离态的充分条件. 313 部分时间反演变换 Peres[28]和Horodecki[16]提出了量子态可分离 性的重要结论. 定理8 对于2×2或2×3的量子系统,某一 给定的量子态是可分离的,当且仅当ρ TA ≥0(或ρ TB ≥0 ) , 即密度矩阵经部分转置后仍为正定. 该定理指出了某些特定的量子系统可分离性的 充要条件,但是对于更复杂的系统(例如3×3,2× 4)并不成立[16 ,17]. 对2×2系统,其密度矩阵经部分 转置后的形式可以表示为 ρ TB = 1 4 ( I “I+r· σ“I 5191 10期石名俊等:混合纠缠态的几何描述 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. + s1I“σ1- s2I“σ2+ s3I“σ3 + t11σ1“σ1-t12σ1“σ2+ t13σ1“σ3 + t21σ2 “σ 1- t22σ2 “σ 2+ t23σ2 “σ 3 + t31σ3 “σ 1- t32σ3 “σ 2+ t33σ3 “σ 3 . ( 40) 可以有两种不同的方式理解从ρ到ρ TB的形式上的 变换:1)向量表示中系数的改变,即s2→-s2, tm2→ -tm2 ( m = 1,2,3 ) ; 2)基的改变,即将子系统B的 Pauli矩阵σ2变为-σ2,其余不变.显然第二种理解 方式更为简洁,而且,这种基的改变相当于对子系统 B的Pauli矩阵求复共轭,实际上 σ3 1 =σ1,σ3 2 =σ2,σ3 3 =σ3.(41) 于是,ρ部分转置相当于对其向量表达式(18)求部 分复共轭(注意到向量表示中的系数均为实数,求复 共轭运算不会使之改变 ) . 另一方面,时间反演变换 中包含求复共轭的操作,对于单个自旋1/2粒子,某 一量子态|ψ〉 经时间反演算子 Θ= -iσ2K ( K 为求复共轭操作)(42) 作用后变为 |ψ ～〉 = -iσ2|ψ〉 3 .(43) 对于单自旋的混合态,其密度矩阵ρ1经时间反演变 换后,有 ρ ～1 = 。