2006年第3届东南数学竞赛.pdf

1 第三届中国东南地区奥林匹克数学竞赛 （2006 年 7 月 27 日， 8：00－12：00，南昌）一、設0,ab2()2( )4ab xabf xxab．證明：存在唯一的正數x，使得11 33 3( )() 2abf x．【解法一】令11 33 3()2abt，由2()24ab xabtxab，得[2()4 ]()2(1)abt xt abab為證(1)有唯一的正數解x，只要證，2()40abt及()20t abab, 即113332()(2) 22abababab記1133, , ,au bvuv，即要證33333332(3) 22u vuvuvuv由於3333333322 2uvuvu vuvu v，即(3)左端成立為證33322uvuv，即22 22221, 4()82uuvvuvuvuuvv，即230uv，此為顯然 .故(3)成立，從而()22()4t ababxabt即為所求解法二】 22()21()( )() 422(4)ab xababf xab xabxab在(0,)上為嚴格單調增加的連續函數，而且2(0)abfab，lim( ) 2xabf x據解法一 (2)式知11 33 32()22abababab，故存在唯一的正數x，使得11 33 3( )()2abf x。

二、如圖所示，在△ ABC 中，90 ,,ABCD G是邊 CA 上的兩點，連接 BD，BG過點A，G 分別作 BD 的垂線，垂足分別為E，F，連接 CF若 BE＝EF，求證：ABGDFC法一、作 GM⊥AB 於 M，設 AE 與 BG 的交點為 K，連接 KM 由 BE＝EF，及 AE//GF 知，K 為 Rt△BGM 斜邊 BG 上的中線， 所以 BK＝KG＝MK，ABGBMK因為ABCDGEF2 3n-1n214ABKBF AKS2ABGSAB MG又 MG//BC，所以ABAMBCMG，故AB MGBCAM，所以BFAKBCAM，即 BFAMBCAK結合KABCBD，知△KAM△CBF，所以AMKCFB，於是 BMKCFD，故ABGDFC 【證法二】 作Rt ABC的外接圓 w，延長 BD、AE 分別交 w 於 K、J 連接 BJ、CJ、KJ、FJ易知BAJKBC，故 BJ＝KC 於是四邊形 BJCK 是等腰梯形，又 AJ 垂直平分 BF，故 BJ ＝FJ，故四邊形 FJCK 是平行四邊形 . 設 AE 與 BG 的交點 為 M，FC 與 JK 的交點為 N，則 M、N 分別是 BG 和 FC 的 中點， 於是 sinsin,sinsinABMAGJKCFKAGBAMBKJCK 又BAGFKC，於是BAGFKC，所以 ABGDFC。

三、一副紙牌共 52 張，其中“方塊”、“梅花”、“紅心”、“黑桃”每種花色的牌各 13張，標號依次是2,3,,10, ,,,J Q K A，其中相同花色、相鄰標號的兩張牌稱為“同花順牌”，並且 A 與 2 也算是順牌（即 A 可以當成 1 使用） . 試確定，從這副牌中取 出 13 張牌，使每種標號的牌都出現，並且不含“同花順牌”的取牌方法數先一般化為下述問題：設3n，從12,,,nAa aa，12,,,nBb bb，12,,,nCc cc，12,,,nDd dd這四個數列中選取n 個項，且滿足：(i) 1,2,, n每個下標都出現；(ii) 下標相鄰的任兩項不在同一個數列中(下標 n 與 1 視為相鄰 )，其選取方法數記為nx，今確定nx的運算式 : 將一個圓盤分成n 個扇形格，順次編號為1,2,, n，並將數列 ,,,A B C D各染一種顏色，對於任一個選項方案，如果下標為i 的項取自某顏色數列，則將第i 號扇形格染上該顏色於是nx就成為將圓盤的 n個扇形格染四色，使相鄰格不同色的染色方法數，易知，14x、212x、1 14 33(1)n nnxxn將(1)寫作11 11143nnn nnxx，因此KFEGDCBMA3 1221232232221143;1143 ;143nnnnnxxxxx相加得，133nnnx，於是331(2)nn nxn。

因此13 1333x. 這就是所求的取牌方法數 . 四、對任意正整數 n，設na是方程31xxn的實數根，求證：(1) 1nnaa； (2) 2 11(1)nn iiaia由31n naa n，得01na1) 333311 1122 11101 1()()nnnn nnnnnnnnnnaaaaaaaannnnaaaaaan因為22 1110nnnnaaaan，故10nnaa，即1.nnaa(2) 因為211nnaan，所以 211 1111nnnanann，從而21111nn nna，2 11111111()111111nnnn iiiinai iiinnia故2 111nn iia ia. 4 第二天 （2006 年 7 月 28 日， 8：00－12：00，南昌）五、如圖，在ABC中，60A，ABC的內切圓 I 分別切邊 AB、AC 於點 D、E，直線 DE 分別與直線 BI、CI 相交於點 F、G，證明：12FGBC分別連接CFBGIDIEAI，，，，，則A D IE、 、、四點共圓所以1 2IDEA，從而1902BDFA；又111809022BICBCA（），所以BDFBIC又DBFCBI，得FDBCIB。

所以FBDBCBIB又由DBIFBC，得IDBCFB，所以CFBF，從而 130 2FCGA同理BGGC，所以B C FG、 、 、四點共圓，由此sinFGBCFCG，所以1 2FGBC證法二】因為1()2BIGBC，又因為1801()22ABDGADEBC，所以B DIG、 、、四點共圓，因此90BGCBDI 同理90CFB，所以B C FG、 、 、四點共圓又19090()302FCGFBCBCIBC，所以1sin2FGBCFCGBC. 六、求最小的實數 m，使得對於滿足 a+b+c=1的任意正實數 a，b，c，都有333222(61m abcabc） （）當 a=b=c13時，有27m下證不等式33322227()6 ()1abcabc 對於滿足 a+b+c= 1 的任意正實數 a，b，c 都成立 因為對於01x，有323224276581181540(31) (94)03xxxxxxxx故32427653xxx，01xABCDFGIEABCDFGIE5 所以323232427653 427653 427653aaabbbccc把上面三個不等式相加，得33322227()6()1abcabc. 所以， m的最小值為 27。

解法二】當 a=b=c13時，有27m下證不等式33322227()6 ()1abcabc 對於滿足 a+b+c= 1 的任意正實數 a，b，c 都成立因為2() ()0abab，所以3322aba bab，同理，3322bcb cbc，3322cac aca， 於是3332222223333332222222222222()3()()()abca bb cc aabbccaabcabca bb cc aabbccaabcabcabc所以22222222222222223336 ()16()()6()3()9()27()abcabcabcabcabcabcabc 所以， m 的最小值為 27．七、（1）求不定方程2()mnnrmrmnr的正整數解(, , )m n r的組數2）對於給定的整數 k>1，證明：不定方程()mnnrmrk mnr至少有 3k+1組正整數解(, , )m n r1) 若, ,2m n r，由2 ,2 ,2mnm nrn mrr得 2()mnnrmrmnr，所以以上不等式均取等號，故2mnr 若1 {, , }m n r，不妨設 m=1，則2(1)nrnrnr，於是 (1)(1)3nr，所以{1,1}{1,3}nr，故{ , }{2, 4}n r，{, , }{1, 2,4}m n r，這樣的解有 3!6組。

所以，不定方程2()mnnrmrmnr共有 7 組正整數解2) 將()mnnrmrk mnr化為22[()][()]nkmrkmkkmm6 221,nkmrkkmmkm滿足上式，且1,2,,[]2km時，0mnrk為偶數時，22{, , }{ ,1,}m n rl klkkllkl，其中1,2,,2kl給出了不定方程的 3k組正整數解k為奇數時，22{, , }{ ,1,}m n rl klkkllkl，其中11,2,,2kl給出了不定方程的 3(1)k組正整數解，, ,m n r中有兩個1 2k,另一個為22111(1)(31)() 2224kkkkkkkk的情況給出了不定方程的3組正整數解； 而mnrk亦為不定方程的正整數解． 故不定方程()mnnrmrk mnr至少有 3k+1 組正整數解八、對於周長為 n*()nN的圓，稱滿足如下條件的最小的正整數nP為“圓剖分數”：如果在圓周上有nP個點12,,,npA AA，對於1,2,,1n中的每一個整數 m，都存在兩個點,ijA A (1,)ni jP，以iA和jA為端點的一條弧長等於m；圓周上每相鄰兩點間的弧長順次構成的序列12(,,,)nnPTa aa稱為“圓剖分序列”。

例如當n=13 時，圓剖 分數為134P，如圖所示，圖中所標數字為相鄰兩點之間的弧長，圓剖分序列為13(1,3,2,7)T或(1,2,6,4)求21P和31P，並 各給出一個相應的圓剖分序列由於 k個點中，每兩個點間可得一段優弧和一段劣弧，故至多可 得(1)k k個弧長值當(1)20k k時，則5k;而當(1)30k k時，則6k另一方面，在5k時，可以給出剖分圖所以，215P，21(1,3,10,2,5)T.對於 n=31，在 k=6 時， 類似可給出剖分圖所以，316P，31(1 ,2,7,4,12,5)T、(1,2,5,4,6,13)、(1,3,2,7,8,10)、(1,3,6,2,5,14)1327 621452101 3108723113654216514231 512472141472317 或(1,7,3,2,4,14)等。