毕业设计(论文)凸函数的性质及其应用.docx

本科学生毕业论文（设计）题目（中文）： 凸函数的性质及其应用（^^:）： Nature and Application of Convex Function姓 名 学 号 院 系 数学与计算科学系专业年级 信息与计算科学2005级指导教师 2009年4月20日凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用[ 关键词 ] 凸函数 等价定义 性质 应用 最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Optimization绪论 （1）1凸函数的概念与等价定义 （1）1.1 凸函数的概念 （1）1.2 凸函数的等价定义 （2）2 凸函数的简单性质 （3）3 凸函数的判定定理 （5）4关于凸函数的几个重要不等式 （7）4.1 Jensen 不等式 ⑺4.2 Hadamar杯等式 （10）5 凸函数的应用 （11）5.1 凸函数在证明不等式中的应用 （11）般凸函数和凸集 （13）5.3 广义凸函数求极小的问题 （14）5.4 广义凸函数求极大的问题 （16）结束语 （19）致谢 （19）参考文献 （20）绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域 ，函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支， 是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。

运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支 运筹学的创始人定义运筹学是： “管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大效益随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用本世纪初建立了凸函数理论以来 ，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用现行高等数学教材中，也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需 要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义 ，本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数 在证明一般不等式中的应用；研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各 类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系；以及广义凸函数求极小的问题（即广 义凸规划）和广义凸函数求最大的问题1凸函数的概念与等价定义1.1凸函数的概念人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的 概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。

定义1设f x是定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2，常有f x1 x2 f x〔 f —2 2则称f x为I上的凸函数定义2 若在定义I上成立不等式（x1 w x2 ）f x（ x? f x（ f x22 V 2则称f x是I上严格的凸函数+8)上的严格凸函数例 1 .1.1 指数函数 x ax( a>0, a w 1淤(-8不难验证，恒正的函数 x ax( a >0, a w 1)满足关系式x〔 X22由指数函数的单调性可知，当 x1 x2时，必有 X x2 ,再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有X 又2综上所述可得：- *2 < / x22 2x上的严格凸函数因此， x a ( a >0, a w 1)( - °°, °°)1.2 凸函数的等价定义定义1 设f x在区间I上有定义，f x在I上成为凸函数当且仅当对任意x1，x2e I ,任意 €(0,1)有f x1 1 x2 f x1 1 f x2若不等号反向，则称 f x 为I上的凹函数若 y 改为“ <”，则称f x为I上的严格凸函数定义2设f x在区间I上有定义，f x在I上成为凸函数当且仅当对任意 x1,x2 cI,有f x1 x2 f X f x22 2定义3 设f x在区间I上有定义， f x在I上成为凸函数当仅当对任意x1，x2 …，xn e I ,有XiXi f 1^-推论：若f X在区间I上成为凸函数，则对任意 X1

2凸函数的简单性质在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质定理2.1设f X在区间I上为凸函数，对任意 k 0,则：k 0时，kf x在区间上为凸函数k 0时，kf x在区间上为凹函数定理2.2设f X , g X是间I上的凸函数，则其和 f X g X也是I上的凸函数推论：设f X , g X是间I上的凸函数，则线性组合的函数 k1f X k2g x k1,k2 0 为I上的凸函数k1 f x k2gx (k1，k2 0)为I上的凹函数定理2.3若设f x , g x是间I上的凸函数，则 max f x , g x为I上的凸函数定理2.4设 u是单调递增的凸函数， u = f (x)是凸函数，则复合函数 f X也是凸函数、一 … ，一、 I ,, 一，， 1,1 ，一、 I ,, r 一，， 一定理2.5设f X为区间I上的凹函数，f X 0,则为区间I上的凸函数，反 f X之不真一 — 1证明：要证 为区间I上的凸函数，即证任意 X1,X2 R, 0,1有 f X1 1f x1 1 x2 f x1 f x2因为f x 0 ,为凹函数故有f x1 1 x2 f x1 1 f x2所以：1 1 f x1 1 x2 f x1 1 f x2只需证明：1 1f x1 1 f x2 f x1 f x2由于 f2x f2 y 2fxfy,故1 1 1 成立，结论得证。

f x1 1 x2 f x1 f x22 1 2 y另：设f x e 0为R上的凸函数，但 —— e 仍为凸函数f x定理2.6若f x在区间I上为凸函数，对任意x I ,则x为I的内点则单侧导数' ' …一, , 'f x , f x皆存在，且f x f x推论：若f x为I上的凸函数，则 f x在I上的内点连续定理2.7 f x为区间a,b上的凸函数，对任意 x0 a,b, R,对任意x I有f x x x0 f x0证明：（必要性） 已知f x为区间 a,b上的凸函数，则由定理 2.5可知对任'x0 a,b , f x 存在，且S_f_^0_单调于f' x0x x0'故对 f x0当x x0时有f x x x0 f x0同理，当 f x0时，当x x0时有f x x x0 f x0因为f X0 f X0' '故对 ，f Xo f Xo对 Xo a,b ,总有f X X X0 f X0（充分性）对 X1 X2 X3 a,b ,由题设，对X2,存在 使得f x x X2 f X2 x a,b在上式中分别令X X1,X 乂3得f X3 f X2 f X2 f X1X3 X2 X2 X1证毕。

3凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数 X是否为凸函数，常常并不方便因此需要建立一系列的便于应用的判别法定理3.1若函数 X是区间a,b上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数X x t dt a是a,b上的一个凸函数证明：设a Xl X2 b，则、， Xi X2Xi X2 x2 丁 ， “Xi 2 X2 X1 X2 t dt 2 t dt2 丁 ％由于 x是递增的，故Xi X2X2 Xi X2 X2 Xi kxi X2 t dt t dt= 2 2 %从而得c Xi X2 cxi 2 x2 02这样，由定义1可知， x是凸函数定理3.2若 x在间I上存在，则 x在I上成为凸函数的充分必要条件是:在I上‘'x 04h,并设…证明：（1）必要性，已知 x为凸函数，令x1 x22因而h 0 ,这样就有t th th2即 t h t h 2 t 0用反证法，假定 t得另外，从ddu0,由 t lim—t-u t一u-可知，存在u 0 2ut u u(0 u h)t u 2 t t u t u 知22t u 2 t是u的减函数但这函数当 u 0时等于0因此,t u t u 2 t 0这与结论矛盾，因而 t 0(2)充分性，两次应用Lagrange中值定理有h t x h x h (0 1),一' ' " '一 '及 h x h x h (0 1),从而 . . ' .2 '' '.x h x h x h x h再由‘‘x 0得x h x h x在上式中，令 x h x1, x ^1-x2 及 x h x2, x ~x-x2 得2 2xi x2 xi x2xi X2 x2 xi 'x2 x2 2两式相加得° xi x2xi 2 x2 02故 x是凸函数。

证毕* . . . > — » ,_. 一 . . w V例3.i函数 x xln x在0,内是凸函数，因为 0'' "定理3.3若在区间I上存在 x , x 0,则 x在区间I是严格凸函数4关于凸函数的几个重要不等式4.i Jensen不等式定理（凸函数的基本不等式）设 x是间I上的凸函数，则对 I中任意n个数为？2,...?门成立不等式x〔 x2 …xn x1 x2 … xnn n当仅当xi x2 ... xn时等号定理（Jensen总和不等式）若 x是I上的连续凸函数，pi, p2,..., pn是一组不为零的非负数，则成立不等式：RM P2X2PnXn Pi Xi | P2 X2Pn XnPl P2 ... Pn Pi P2 ... Pn当仅当Xi都相等时等式成立。