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数二 —— 基本知识点Deran Pan2017.8.11目录第一章极限4 一、定理4 二、重要极限4 三、等价无穷小4 六、积分和求极限4 四、佩亚诺余项泰勒展开 4 第二章一元函数微分5 一、函数微分5 二、微分运算法则5 三、基本微分公式5 四、变限积分求导5 五、N 阶导数.5 六、参数方程导数5 七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则.5 八、反函数的一阶、二阶求导 5 九、单调、极值、凹凸、拐点 5 十、渐近线5 十一、曲率6 十三、泰勒定理6 十四、极限与无穷小的关系 6 十五、附6 第三章一元函数积分7 一、定理7 二、基本积分公式7 三、基本积分方法7 四、一个重要的反常积分 7 五、定积分的应用7 第四章多元函数微分8 一、如果存在，则在该点连续.8𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0𝑦→𝑦0𝑓𝑥,𝑦𝑓𝑥,𝑦二、求重极限方法8 三、可微性讨论8 四、复合函数微分8 五、高阶偏导8 六、隐函数求导8 七、二元函数极值的充分条件 8 八、条件极值、拉格朗日乘数法 8 九、二重积分8 十、柯西积分不等式10 第五章常微分方程11 一、一阶微分方程11 二、可降阶的高阶微分方程 11 三、高阶常系数微分方程 11 第一章行列式12 一、余子式&代数余子式 12 二、几个重要公式12 三、抽象 n 阶方阵行列式公式 12 第二章矩阵12一、运算规则12 二、特殊矩阵12 三、可逆矩阵12 四、秩13 第三章向量13 一、线性表出、线性相关、极大线性无关组.13 二、施密特正交化13 三、正交矩阵13 第四章线性方程组14 一、克拉默法则14 二、齐次线性方程组、基础解系 14 三、非齐次线性方程组、通解结构 14 第五章特征值、特征向量、相似矩阵 14 一、特征值、特征向量 14 二、相似矩阵14 三、实对称矩阵15 四、矩阵、特征值、特征向量 15 五、判断 A 是否相似于对角 15 第六章二次型15 一、二次型15 二、标准型15 三、规范型15 四、化二次型为标准型，规范型 15 五、合同16 六、惯性定理16 七、实对称矩阵 A、B 合同的充要条件.16 八、正定16 九、正定阵性质16 后记17第一章 极限一、定理夹逼定理，单调有界定理二、重要极限1.lim 𝑥→0sin 𝑥𝑥= 12.lim 𝑥→0(1 + 𝑥)1 𝑥= 𝑒3.lim 𝑛→∞𝑛𝑛 = 14. lim 𝑥→0+𝑥𝛿∙ (𝐼𝑛 𝑥)𝑘= 05.lim 𝑥→∞𝑥𝑘∙ 𝑒‒ 𝛿𝑥= 1三、等价无穷小当 时：x→01、、sin𝑥~𝑥2、、tan𝑥~𝑥3、1 ‒ cos𝑥~12𝑥24、𝑒𝑥‒ 1~𝑥5、𝐼𝑛 (1 + 𝑥)~𝑥6、(1 + 𝑥)𝛼‒ 1~𝛼 ∙ 𝑥7、arcsin𝑥~𝑥8、arctan𝑥~𝑥9、𝛼𝑥‒ 1~𝑥 ∙ 𝐼𝑛(𝛼)10、𝑥𝑚+ 𝑥𝑘~𝑥𝑚，(𝑘 > 𝑚 > 0)五、洛必达法则六、积分和求极限lim 𝑛→∞𝑢𝑛= lim 𝑛→∞1 𝑛∙𝑛∑ 𝑖 = 1f(𝑖 𝑛)=∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥佩亚诺余项泰勒展开1、𝑒𝑥= 1 + 𝑥 +1 2!𝑥2+ ⋯ +1 𝑛!𝑥𝑛+ 𝑂(𝑥𝑛)2、sin𝑥 = 𝑥 ‒1 3!𝑥3+ ⋯ +(‒ 1)𝑛(2𝑛 + 1)!𝑥2𝑛 + 1+ 𝑂(𝑥2𝑛 + 2)3、cos𝑥 = 1 ‒1 2!𝑥2+ ⋯ +(‒ 1)𝑛(2𝑛)!𝑥2𝑛+ 𝑂(𝑥2𝑛 + 1)4、𝐼𝑛 (1 + 𝑥)= 𝑥 ‒𝑥2 2+𝑥3 3+ ⋯ +(‒ 1)𝑛 ‒ 1𝑥𝑛𝑛+ 𝑂(𝑥𝑛)5、(1 + 𝑥)𝑚= 1 + 𝑚𝑥 +𝑚(𝑚 ‒ 1) 2!𝑥2+ ⋯ +𝑚 ×(𝑚 ‒ 1)× ⋯ ×(𝑚 ‒ 𝑛 + 1) 𝑛!𝑥𝑛+ 𝑂(𝑥𝑛)第二章 一元函数微分一、函数微分d𝑦 = 𝐴∆𝑥 + 𝑜(𝑥)= 𝐴𝑑𝑥 + 𝑜(𝑥)二、微分运算法则1、(𝑢 ± 𝑣)'= 𝑢'± 𝑣'2、(𝑢 ∙ 𝑣)'= 𝑢'∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣'3、(𝐶 ∙ 𝑢)'= 𝐶 ∙ 𝑢'4、(𝑢 𝑣)'=𝑢'𝑣 ‒ 𝑢𝑣'𝑣2三、基本微分公式1、C'= 02、(𝑥𝛼)'= 𝛼 ∙ 𝑥𝛼 ‒ 13、(𝛼𝑥)'= 𝛼𝑥∙ 𝐼𝑛(𝛼)4、(𝑒𝑥)'= 𝑒𝑥5、(𝑙𝑜𝑔𝑥𝛼)'=1 𝑥 ∙ 𝐼𝑛(𝑎)6、(cos𝑥)'=‒ sin𝑥7、(sin𝑥)'= cos𝑥8、(cot𝑥)'=‒(csc𝑥)29、(tan𝑥)'=(sec𝑥)210、(sec𝑥)'= sec𝑥 ∙ tan𝑥11、(csc𝑥)'=‒ csc𝑥 ∙ cot𝑥12、(arcsin𝑥)'=11 ‒ 𝑥213、(arccos𝑥)'=‒11 ‒ 𝑥214、(arctan𝑥)'=11 + 𝑥215、(arccot𝑥)'=‒11 + 𝑥2四、变限积分求导(∫𝜑2(𝑥) 𝜑1(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡)'= 𝑓(𝜑2(𝑥))∙ 𝜑'2(𝑥)‒ 𝑓(𝜑1(𝑥))∙ 𝜑' 1(𝑥)五、N 阶导数1、(𝑢 ± 𝑣)(𝑛)= 𝑢(𝑛)± 𝑣(𝑛)2、(𝑢 ∙ 𝑣)(𝑛)= 𝑢(𝑛)∙ 𝑣 + 𝐶1𝑛∙ 𝑢(𝑛 ‒ 1)∙ 𝑣(1)+ ⋯+ 𝐶𝑘𝑛∙ 𝑢(𝑛 ‒ 𝑘)∙ 𝑣(𝑘)+ ⋯ + 𝑢 ∙ 𝑣(𝑛)六、参数方程导数𝑦'𝑥=𝑦'𝑡𝑥'𝑡𝑦'' 𝑥𝑥=(𝑦' 𝑥)' 𝑡𝑥'𝑡=𝑥'𝑡∙ 𝑦'' 𝑡𝑡‒ 𝑥'' 𝑡𝑡∙ 𝑦' 𝑡(𝑥'𝑡)3七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、反函数的一阶、二阶求导𝑑𝑥 𝑑𝑦=1 𝑑𝑦 𝑑𝑥=1𝑓'(𝑥)𝜑''(𝑦)=‒𝑓''(𝑥)(𝑓'(𝑥))3九、单调、极值、凹凸、拐点十、渐近线水平渐近线：lim 𝑥→∞𝑓(𝑥)= 𝑏铅直渐近线：lim 𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)= 𝑏斜渐近线：lim 𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) 𝑥= 𝑎，lim 𝑥→𝑥0[𝑓(𝑥)‒ 𝑎 ∙ 𝑥]= 𝑏十一、 曲率𝑘 =|𝑦''|(1 +(𝑦')2)3 2𝑅 =1 𝑘=(1 +(𝑦')2)3 2|𝑦''|十二、 定理费马定理（驻点） 、罗尔定理、拉格朗日中值定 理、柯西中值定理。

十三、 泰勒定理f(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+𝑓'(𝑥0)1!(𝑥 ‒ 𝑥0)+𝑓''(𝑥0)2!(𝑥 ‒ 𝑥0)2+ ⋯ +𝑓(n)(𝑥0)𝑛!(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑛+ 𝑅𝑛(𝑥)十四、 极限与无穷小的关系lim 𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)= 𝐴⟺𝑓(𝑥)= 𝐴 + 𝛼(𝑥)，其中lim 𝑥→𝑥0𝛼(𝑥)= 0十五、 附麦克劳林公式：f(𝑥)= 𝑓(0)+𝑓'(0) 1!∙ 𝑥 +𝑓''(0) 2!∙ 𝑥2+ ⋯ +𝑓(𝑛)(0) 𝑛!∙ 𝑥𝑛+ 𝑅𝑛(𝑥)泰勒公式：f(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+𝑓'(𝑥0)1!(𝑥 ‒ 𝑥0)+𝑓''(𝑥0)2!(𝑥 ‒ 𝑥0)2+ ⋯ +𝑓(n)(𝑥0)𝑛!(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑛+ 𝑅𝑛(𝑥)拉格朗日余项：R𝑛(𝑥)=𝑓(𝑛 + 1)(𝜉)(𝑛 + 1)!(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑛 + 1𝑓(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+𝑓'(𝜉) 1(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑓(𝑥)- 𝑓(𝑥0)= 𝑓'(𝜉)∙(𝑥 ‒ 𝑥0)拉格朗日中值定理佩亚诺余项：R𝑛= 𝑂[(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑛]𝑓(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+𝑓'(𝑥0)1(𝑥 ‒ 𝑥0)+ 𝑂(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑓(𝑥)‒ 𝑓(𝑥0)= 𝑓'(𝑥0)∙(𝑥 ‒ 𝑥0)+ 𝑂(𝑥 ‒ 𝑥0)𝑥0= 0𝑛 = 1𝑛 = 0∆𝑦 = 𝑓'(𝑥0)∙ ∆𝑥 + 𝑂(𝑥 ‒ 𝑥0)增量与微分的关系式第三章 一元函数积分一、定理1、定积分存在定理2、原函数存在定理3、积分中值定理 ∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓'(𝜉)∙(𝑏 ‒ 𝑎)二、基本积分公式1、∫𝑥𝛼𝑑𝑥 =1 𝛼 + 1∙ 𝑥𝛼 + 1+ 𝐶2、∫1𝑥𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑥)+ 𝐶3、∫𝛼𝑥𝑑𝑥 =𝛼𝑥 𝐼𝑛(𝛼)+ 𝐶4、∫𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝐶5、∫sin𝑥𝑑𝑥 =‒ cos𝑥 + 𝐶6、∫cos𝑥 𝑑𝑥 = sin𝑥 + 𝐶7、∫tan𝑥𝑑𝑥 =‒ 𝐼𝑛|cos𝑥|+ 𝐶8、∫cot𝑥𝑑𝑥 = 𝐼𝑛|sin𝑥|+ 𝐶9、∫sec𝑥𝑑𝑥 = 𝐼𝑛|sec𝑥 + tan𝑥|+ 𝐶10、∫csc𝑥𝑑𝑥 = 𝐼𝑛|csc𝑥 ‒ cot𝑥|+ 𝐶11、∫sec2𝑥𝑑𝑥 = tan𝑥 + 𝐶12、∫csc2𝑥𝑑𝑥 =‒ cot𝑥 + 𝐶13、∫1𝛼2+ 𝑥2𝑑𝑥 =1 𝛼arctan𝑥 𝛼+ 𝐶14、∫1𝛼2‒ 𝑥2𝑑𝑥 =1 2𝛼𝐼𝑛|𝛼 + 𝑥 𝛼 ‒ 𝑥|+ 𝐶15、∫1𝛼2‒ 𝑥2𝑑𝑥 = arcsin𝑥 𝛼+ 𝐶16、∫1𝑥2± 𝛼2𝑑𝑥 = 𝐼𝑛|𝑥 +𝑥2± 𝛼2|+ 𝐶三、基本积分方法1、凑微分法2、换元积分法a) 含，命𝑎2‒ 𝑥2𝑥 = a ∙ sin𝑡b) 含，命𝑥2+ 𝑎2𝑥 = 𝑎 ∙ tan𝑡c) 含，命𝑥2‒ 𝑎2𝑥 = 𝑎 ∙ sec𝑡3、部分积分法4、利用被积函数的奇偶性5、拆项积分四、一个重要的反常积分∫+ ∞‒ ∞𝑒‒ 𝑥2𝑑𝑥 = 2∫+ ∞0𝑒‒ 𝑥2𝑑𝑥 =𝜋五、定积分的应用1、 平面图形的面积A =∫𝑏𝑎[𝑦2(𝑥)‒ 𝑦1(𝑥)]𝑑𝑥A =∫𝑑𝑐[𝑥2(𝑥)‒ 𝑥1(𝑥)]𝑑𝑦𝐴 =1 2∫𝛽𝛼𝜌2(𝜃)𝑑𝜃2、平面曲线的弧长𝑆 =∫𝑏𝑎(𝑥'(𝑡))2+(𝑦'(𝑡))2𝑑𝑡𝑆 =∫𝑏𝑎1 +(𝑦'(x))2𝑑𝑥𝑆 =∫𝛽𝛼𝜌2(𝜃)+(𝜌'(𝜃))2𝑑𝜃3、 旋转体体积𝑉 = 𝜋∫𝑏𝑎𝑦2(𝑥)𝑑𝑥𝑉 = 𝜋∫𝑏𝑎[𝑦2 2(𝑥)‒ 𝑦2 1(𝑥)]𝑑𝑥𝑉 = 2𝜋∫𝑏𝑎𝑥[𝑦2(𝑥)‒ 𝑦1(𝑥)]𝑑𝑥4、 旋转曲面面积𝑆 = 2𝜋∫𝑏𝑎|𝑦| ∙1 + 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥𝑆 = 2𝜋∫𝑏𝑎|𝑦(𝑡)| ∙(𝑥'(𝑡))2+(𝑦'(𝑡))2𝑑𝑡第四章 多元函数微分一、如果存在，则在该点连续lim 𝑥→𝑥0 𝑦→𝑦0𝑓(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥,𝑦)二、求重极限方法1、 利用极限性质、四则运算、夹逼准则等 2、 消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等 3、 转化为一元函数求极限 4、 利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、可微性讨论1、 可微a)考察和是否都存在。

f'𝑥(𝑥0,𝑦0)f'y(𝑥0,𝑦0)b)考察lim ∆𝑥→0 ∆𝑦→0[𝑓(𝑥0+ ∆𝑥,𝑦0+ ∆𝑦)‒ 𝑓(𝑥0,𝑦0)]‒[f'𝑥(𝑥0,𝑦0)∆𝑥 + f'y(𝑥0,𝑦0)∆𝑦]∆𝑥2+ ∆𝑦2= 0是否成立2、 可微的必要条件：可微必可导。