实变函数论课件4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点.ppt

第4讲 n维空间中的点集,目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题 重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理⒈度量空间,定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射，且满足,⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性）,则称(X,d)为度量空间.,⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性）,⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）,(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是 一个度量空间，称（Y,d）为 (X,d) 的子空间例：,⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数 全体), 其中,⑴欧氏空间（R n , d）,其中,⑵离散空间(X , d)，其中,第4讲 n维空间中的点集,二．聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理 问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与 E有几种可能的关系？,定义1 设 ， （i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点。

（ii）若存在 ，使 ，则称 为 的外点 （iii）若对任意 ， 则称 为 的边界点定义2 若对任意 ， 中总有 中除 外 的点，即 ,则称 为 聚 点 注：有限点集没有聚点⒊聚点的等价描述,证明： 显然，下证,定理1：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得,定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为：,(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点,闭包和内部的对偶关系：,定理2 若 ，则 定理3 若 ，则,定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 现设 ，则对任意 ， 从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使,,,,中必有无穷多个都属于 或都 属于 ，不妨设 ，则由 ，知 如果有无穷多个在 中，则将会有 ， 总之 。

从而 综上 定理4 （波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano- Weierstrass）定理）若 是 中一 个有界的无穷集合，则 至少有一个 聚点 ，即 定理5 若 则 至少有一个 界点，即 与聚点相对的概念是孤立点，集合 的边界点若不是 的聚点，则称为 的孤立点当然， 的孤立点一定在 中如果 的每一点都是孤立点，则 称 为孤立集合。