海森堡误差干扰关系的证据翻译.pdf

第一页 海森堡误差干扰关系的证据 虽然在公众感兴趣的意识中， “无误差无测量”的口号已经在海森堡的影响 下确立了自己的名义，这种对量子世界的基本特征的准确的申明一直难以实现， 为了量子理论的结果更加严谨所作出的认真的尝试导致了看似矛盾的初步结果 在这里，我们表明，尽管有相反的主张，海森堡不等式可以证明，描述的位置和 动量的精确度必然产生干扰之间的权衡更一般地来说， 这些不平等是不确定关 系中位置和动量不精确性的测量的实例误差和干扰的测量， 这里被定义为数字 化测量工具的有点特性因此，他们是独立的状态，对每一个最坏情况的估计， 在所有状态下， 和以前的工作对比， 关注的是在一个单独的状态下，误差和干扰 之间的关系 尽管在量子力学中他们一开始就起到重要作用，不确定关系最近才成为活 跃的科学争论课题， 一方面，在连续变量可靠的证明中， 信息干扰的熵的版本的 权衡已经成为一个重要的工具， 另一方面，广泛存在对海森堡不确定关系中的误 差扰动的驳斥文献中给出了对不确定关系的回顾 海森堡在 1927年的论文中引入的不确定性关系是早期量子力学的一个关键 贡献这是几乎所有量子力学的一部分，在 Kennard 版本中几乎总是被引用。

然 而，经常被忽略的是 , 这个流行的版本只有一个不精确的概念最初的论文开始 于关于显微镜分辨率的著名讨论， 这个讨论是显微镜的精度( 分辨率) 近似位置测 量与粒子的动能的干扰相关 这种情景决不会被标准关系掩盖，因为在实验中有关肯纳德 - 外尔 - 罗 伯逊不平等不符合颗粒同时具有位置和动量的测量海森堡的半经典讨论并没有 立刻翻译成量子力学的形式， 特别是两个非交换量的比较， 在测量动量之前和之 后这些翻译确实需要对概念的一些仔细工作，不然会导致不同的结果这被 Ozawa的工作所证实了，那个声称找到了海森堡想法严格版本的人，并且指明在 普遍情况下不成立 这个对误差关系假设的修正最近被实验所证实这已经被广 泛宣传为反对海森堡的想法， 明显地与我们的主流结论对立然而，又不存在矛 盾，分歧只存在于对真相严格解释的那一点，为解释找一个看起来正确的说法 虽然小泽旨在描述误差和干扰之间在孤立状态下的相互作用，我们的方法给出了 测量设备的整体性能与状态无关的特性我们证明了小泽的概念， 虽然在数学上 有严格的定义， 仅仅作为误差和干扰测量的有效限制我们将介绍并证明经典的 不等式，2PQ如同教科书中的不等式，紧随海森堡的假设，他们是微观测量方案中明确 的队数量的定义， 位置的精确测量受到动量误差的干扰。

此外，这个不等式是显 著，我们将从等式在来明确说明，第二页 基础量子力学课程，尽管那全部的证据用的一些工具已经超出了这样一门课程主要的进步是早期的工作中简单的定义了变量，这是用了校准的想法这个没有要求符合蒙杰十进制的运算法则，这就导致了绝对的偏离而不只是平方 根的偏离，因此一个常数不同于h/2. 一个变化的常数（甚至于是对于Δ的最佳 的定义）的提出对于大学生的（ undergraduates ）记忆增加了不必要的负担使 用方差来校准这个问题它的基本思想的证明可以在【 14】在体现 简单来说，我们坚持两个正则共轭单量子自由度变量的典型（经典）情况， 为便于比较，让我们回忆的肯纳德Weyl 罗伯森不等式的情况下，我们称之为制 备的不确定性 （见图 1） 对于同一个发射源， 位置 Q和动量 P的利差（spreads ）在不同的实验中是不同的， 这通过密度因子 ρ来表示不确定关系是定量观察无离散的量子态，作为一个典型的可观察的规范对它没有在海森堡论文【7】中提到，除了在快速测量 （postmeasurement）状态中有过粗略的讨论外，这是他假设的被高斯扩展于一 个位置的精确测量 与此相反的，图2 展示了海森堡讨论的所有情形。

中间的一行显示了一个 大约位置测量值 Q ’紧随其后的是一个能量的测量值我们怎么定义一个动量的 干扰和位置的误差在这个装置中？位置的大约测量值Q ’，可以清楚的提出来是 错误的通过与第一行显示的理想测量值Q的比较对于动量干扰可以说也是这 样的：我们可以显著的发现动量前后没有交换在一个宏观作用的相互影响下，所 以不同的是当我们针对单个情形而言是没有意义的然而，我们可以比较动量测 量值干扰在得到位置测量值（我们通常叫这为有效的测量值P’）后，在干扰的 情况下一个理想的动量测量值P将被给出在相同的输入状态中 让我们来想想这 个问题，就是我们怎么精确地测量干扰在其他典型的量子装置中细想一下， 例 如，双缝干涉实验 众所周知很好的照亮狭缝的话，我们就可以测量通过狭缝的 粒子是从狭缝 1 还是狭缝 2 穿过的，就不会出现干涉条纹了 显而易见地， 那灯 光是用来观察干扰粒子数的， 也是在屏幕上用来证实这个在干扰的条件下它是一 再改变的注意这中看待误差和干扰恢复的方法在位置和动量方面是对称的不 确定关系我们也将得到证明因此它在一个大约的动量测量值造成位置干扰也会 很适用和更广泛对于任意将测量的值M ，将产生一个运行值p 和 q（看图 2 中的 虚线轮廓）。

这一普遍性涵盖了任何连续测量的场景，在哪一个尝试去正确的测 量对于一些动量干扰， 也许用详细的有关怎样测量位置的设备工作知识原则上， 这将可能减少不确定性 然而，不平等的量没有改变， 这给啦勒一个精确的意义 和一个证据证明海森堡的无法控制动量干扰的思想，这是他自己没有用到的更进 一步的解释 让我们现在来更详细的讨论一下这个定义△（Q ，Q ’） （动量的情形下将完 全类似） 我们想想这个“显微镜的分辨率”在图中作为一个数值，可能被制造 商用来做广告，这些都可能是改变的在一个测试实验室中△（Q ，Q ’）=0 将 意味着那估计值 Q ’完全的等于理想的Q值；对于每个输入装置第三页 类似地，一个很小的值（value ）可能表明对于每个输入（input state） 的状态，分布的差异性会很小 这需要一个定义来定义两个一般概率的距离，这 定义我们会在下面给出（见部分标记为“不确定性指标”） 然而，我们也可以采 取一个更简单的方法， 避免了验证所有输入状态的声明相反地，测试实验室可 能会专注于这些状态，这至少在经典看来是最苛刻的（the most demanding ones） ，也就是说，这些状态是知道Q有一个已知的和准确（ sharp）的值。

这个 过程我们称之为“校准” 不过，这需要测试许多的状态但不再是非常混合状态 或者那些状态包含广泛分布的波函数的相干叠加的 校准误差的一个优势是，我们不再需要一个任意概率分布之间的距离的定 量评价，而是一个任意的分布和一个已知的确定值ζ对于这个， 我们自然地从 ζ中取均方根偏差尖括号表示输出的'q 的表示的函数的期望值，在分布里获取在制备ρ中的设备‘Q （in the distribution obtained on the preparation ρ with the device ‘Q ）. 这个表述允许‘Q 是一个一般的正算子值测量像投影值的观测值Q一样，我们可以简化这个式子为：22;,QtrQD后者的数量是很小的，一般说≤ε，为输入的状态ρ作为校准最后，我们设定' c,为这里，这个设定是非空的（猜测是不为零的），因为对于任何的 ζ和ε>0，都会有一个 ρ满足而且，极限是存在的，因为随着 ε的减小，最小上界是在越来越少的状态上的（the supremum is over fewer and fewer states） ，所以这个函数是减的在一个坏的近似的情况下，上限是可以为无限的，在这种情况下，我们把在这个定义下，和相应的ρ，我们可以陈述出我们主要的结果。

我们只是 假设 Q0和 P0是一些联合测量装置的校准误差M有限边际量正如上面所讨论的， 也涵盖了连续测量（顺序测量）的情况然后，这种不平等是精确的，同时，适用于M的平等的一个（ q,p ）的联合分布输出是所谓的输入状态的Husimi 分布，这个通过维格纳函数的高斯模糊来涵盖 在边缘没有误差的极端情况下，对于其他的边界的误差必然是无限的 证明： 证明有两个部分：第一个是基础的和关注M 是一个协变的相空间观测到的 特殊情况这些可观测的值可以明确地被描述出来，包括一个非常简单形式的边界‘Q 和‘P，通过它可以减小制备的不确定性（preparation uncertainty） 第二， 证明的更多的技术部分减少了一般情况下的协变的平均的方法还有它是怎么 来的我们只是简单地描述 通过协变的测量，我们定义了一个有自然对称位置和动量的翻译的属性换言之，如果我们把它应用到一个输入状态转移，位置上通过q而动量上通过p， 这 个 输 出 的 分 布 会 和 之 前 的 是 一 致 的 ， 改 变 的 是 通 过),(,pppq）（这种对称性是由韦尔运算子（通常也被称为格鲁伯翻译）实现的然后整个观测可以重建其在原点的密度， 它必须是一个 1 踪迹的正算子，一个密度运算符对应的一个量子态。

在2RS下的结果的概率在下面的正算子中会给出这些联合测量的一个显著特性是它们的位置和动量中它们的边界是采取非常简单的形式：在一个状态的输出的'q 的概率密度是和的位置的分布的卷积也就是说，我们能够模式化输出的分布通过取q 的分布像一个上的理想化的测量 Q ，然后增加一个噪音项' 'q，这个是独立于 q 的，而且它的分布是根据的位置分布相同的描述也是应用于边界P’因此，对于协变的测量，我们立即可以定义而不用更多的计算密度是一个固定特性的测量因此，随着的位置分布变得更加集中围绕，输出分布的收敛' ''，所以这是“噪音”（noise ）的“大小”（均方根偏差）例如，如果有一个精 确的位置分布在某值a，这是和 a 的绝对值相等，因为输出结果会被a 所改变最后，一个会选择为平均值为0. 这不确定的结果接着会变成这式子是≥/2 通过制备（ preparation）的不确定性应用于. 这个证明 了 Eq 对于协变测量的情况，还有同时提供了最小不确定测量的例子：我们所需要做的是选择作为一个中心最小不确定状态有和一个被用于高斯波函数的实际值相空间的分布和一个输入状态是有联系的，通过测量M ，而 M就是指 Husimi 分布。

第四页 我们使用越来越多的技术手段来证明Eq （4），都是为了显示对于任何量度M都是协变的，比如说M，基本上和s 相同基本来说，M是由 M弗罗姆平均化，但技术问题是，那些（ Q ，P）的平均参数范围是无限的（见[14] ）让我们引进）（PQM,作为一组测量值 M ，使得，给定的任意A和，总存在），（;AD，使得 A=Q ，P，AAD），（;这是一个凸集，并且与合适的弱拓扑结构密切联系 我们可以把协方差条件写作， 转换所有可见定点方程的设置，即由韦尔操作结合内容提要的转换得到单一变量，同时使）（PQM,不变因此，由 Markov-Kakutani运用不动点定理，如果结果是非空的，则必须 包含一个有最多不确定性结构的协变元件我们就这样结束了证明公式Eq.(4) 不确定性关系——校准标准仅涉及高度集中态，这样，原则上在一般的输 入状态下，最理想的贴切测量可能会产生输出完全不同的理想状态我们可以很 轻易地举一个投射（推测）实例，测量量A和“近似” A′，它们校准的距离是 一个相当乐观的估计值也就是说，如果我们把△（Q ，Q ′）表示一个基于所有 态都比较恰当的值，我们可能得到△（Q ，Q ′）>>△c（ Q ，Q ′）。

首先，在协 变情况下是不可能发生的： 声明一下， 在任意输入状态下， 通过添加适当独立的 音波给 Q ，Q ′是可模拟的，而且，任何合理界定△（Q ，Q ′）都应该给定音波 的大小然而，在一般情况下，我们需要那特殊形式的独立定义在这里，我们 将介绍这样一个量并且展现它所拥有的不确定关系该思想是定义于概率分布的一种度量d 这。