应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 6-5 傅立叶级数

1、一、谐波分析三角函数系的正交性,返回,下一页,第5节 傅里叶(Fourier) 级数,二、傅里叶级数,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,四、函数f(x)在0 , 上展开为正 弦级数与余弦级数,一、谐波分析三角函数系的正交性,函数，此级数的一般形式为：,在物理学及电工学学科中经常会用到一类 极为重要的函数项级数,其中un(x)是三角,返回,下一页,上一页,称具有这种形式的函数项级数为三角级数.我们并不准备研究这类级数的理论，只要知道如何把一个已知函数,展开成三角级数,以及,三角级数在什么条件下收敛，,且收敛于 .,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,例6-25 设有一个由电阻R 、自感L、 电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L 及C为常数,电源电动势E=E(t)(见图6-1).,设电路中的电流为i(t),电容器两极板上的电压为uc,那么根据回路定律,就得到了一个二阶线性常系数非齐次微分方程,返回,下一页,上一页,这就是串联电路的振荡方程.如果电源电动势E(t)非正弦变化,也就是说f(t)不是正弦函数,那么求解这个非齐次微分方程就变得十分复杂,返回,下一页,上一页,在电学中解决这

2、类问题的方法,是将自由项近似地表示成许多不同周期的正弦型函数的叠加,即,这样,串联电路的振荡方程的解uc(t),就化成了n+1个自由项为正弦型函数的方程解uck(t)的叠加,于是可求原方程解uc(t)的近似解.当n时,就得精确解,返回,下一页,上一页,这种方法称为谐波分析法.它是将一个非正弦型的信号,分解成一系列不同频率的正弦信号的叠加,即,返回,下一页,上一页,式中,A0称为直流分量, 称为一次谐波(基波), 称为二次谐波,以下依次为三次谐波，四次谐波等等,一个非正弦型的函数f(t)，为何可以展开成（6-1）式？原因之一是三角函数系具有正交性,由,组成的函数序列叫做三角函数系，,三角函数系的正交性是指 :,如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，,在区间 , 上的定积分，,其值都为零 .,这实际上只需证明以下五个等式成立 :,返回,下一页,上一页,以上结果，这里就不证明了 .,返回,下一页,上一页,二、傅里叶级数,返回,下一页,上一页,改写(6.11)成为如下形式的函数项级数,为常数.此式称为三角级数.,且可逐项积分,于是有,返回,下一页,上一页,注 意到三角函数系的正交性，,即有

3、,返回,下一页,上一页,所以,为了求出系数 an ，,我们用 cos kx 乘级数 ，,然后在逐项积分,即,返回,下一页,上一页,由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，,当 k = n 时，,有,其余各项均为零 .,因此,返回,下一页,上一页,用类似的方法，,可得到,注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式，,因此求系数 an , bn 的公式可以归并为,返回,下一页,上一页,由傅里叶系数组成的式(6.12) 称为傅里叶级数.,an , bn 称为f(x)傅里叶系数.,返回,下一页,上一页,收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ),设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，,如果它满足条件 :,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，,并且至多只有有限个极值点，,则 f(x) 的傅里叶级数收敛，,并且,返回,下一页,上一页,级数收敛于,(2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，,级数收敛于 f(x) ;,(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，,其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，,f(x+0) 表示 f(x) 在

4、 x 处的右极限 .,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,收敛定理说明,以 为周期的函数f(x),只要 是在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,那么按(6.14)式 计算出傅里叶系数,得到的傅里叶级数f(x)的连 续点处收敛于函数f(x) .定理中所要求的条件,对 于一般的初等函数与分段函数都能满足,这就保 证了傅里叶级数广泛的应用性,试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .,返回,下一页,上一页,这是一个矩形波，,它显然满足收敛定理的条,件, 有,返回,下一页,上一页,因为在计算,又,返回,下一页,上一页,根据收敛定理可知，,当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,傅里叶级数收敛于 f(x) ，,即,返回,下一页,上一页,所求傅里叶级数和函数的图形如图6-3所示.,不难发现图形在 x = k (k=0 , 1 , 2,) 各点处与图6-2 不同.,当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,级数收敛于,返回,下一页,上一页,例 6-27 无线电设备中,常用整流器把交流电换为直流电 , 设已知电压u(t)与时间的关系

5、为,试将其展开成傅里叶级数(见图6-5),返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,解,因为u(t)为偶函数,故,返回,下一页,上一页,由于u(t)在t轴上连续，故由收敛定理得,返回,下一页,上一页,若函数f(x)不是以 为周期的周期函数,其 定义域长度不超过 ,则在求其傅里叶级数展 开之前,首先要把它的定义域扩充成长度为 的区间，然后在以 为周期进行延拓,得到一,个在原定义域内与f(x)相同的、以 为周期的周期函数g(x) ,将g(x)展开为傅里叶级数,把x的变化范围限制在原定义域内,即得到f(x)的傅里叶展开式,展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，,称为正弦函数，,只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数.,假设以2为周期的周期函数 f(x),在 , 内是奇函数，,则傅里叶级数一定是正弦级数.,即,此时傅里叶系数为,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,返回,下一页,上一页,于是在区间( )内f(x)cosnx为奇函数，,而奇函数在对称区间上的积分为零 ，,所以,又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，,返回,下一页,上一页,故有,同理可以推出,当函数f(x)是偶函数时,其

6、展开式为余弦级数，,即,此时傅里叶系数为,返回,下一页,上一页,（6.16）,试将其展开成傅里叶级数 .,解 函数 f (x) 的图形如图6-7所示 ，,返回,下一页,上一页,因此应根据式(6.16)计算傅里叶系数.,由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，,返回,下一页,上一页,即,故所求的傅里叶级数收敛于 f(x)，,又因为 f(x) 处处连续 ，,返回,下一页,上一页, (x) 称为f(x) 的周期延拓函数.,且以 2 为 周期的函数，,如果 (x) 满足收敛定理的条件，,我们设想有一 个函数 (x)，,设函数 f(x) 定义在 0 , 上，,它是定义在 ( ) 上,而在 0 , 上，, (x) = f(x).,那么 (x) 在 ( ) 上就可展开为傅里叶级数，,取其 0 , 上一段，,即为 f(x) 在 0 , 上的傅里叶级数，,四、函数f(x)在0 , 上为正弦级数与余弦级数,返回,下一页,上一页,在理论上或实际工作中，,下面的周期延拓是 最为常用:,将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，,使延拓后 的函数成为奇函数 ，,然后再延拓为以 2 为周期 的函数 .,这种延拓称为周期奇延拓;,返回,下一页,上一页,这种延拓称为周期偶延拓.,将 f(x) 先延拓到( , 0)，,使延拓后的函数为偶函数，,然后再延拓为以 2 为周期的函数，,返回,下一页,上一页,显然，周期奇延拓结果为正弦级数，,其傅里叶系数为,( 因在 0 , 上， (x) = f(x) ).,周期偶延拓的结果为余弦级数，,其傅里叶系数公式为,返回,下一页,上一页,例 6-28 试将,解 计算傅里叶级数，,返回,下一页,上一页,且延拓的函数在 x = 0， 处连续，,因此,(0 x ) .,返回,下一页,上一页,展开成正弦级数 .,例6-32 试将函数,0 x , ,解,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,当 x = 时，收敛于 0.,所以,返回,下一页,上一页,

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