《信号与系统》电子教案 第4章 连续时间信号与系统的复频域分析

1、第4章 连续时间信号与系统的复频域分析,4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉氏变换的性质 4.3 单边拉氏反变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统函数H(s) 4.6 系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系 4.7 系统的稳定性 4.8 系统函数与系统频率特性,本章学习目标,（1）掌握拉普拉斯变换与反变换。 （2）熟悉拉普拉斯变换的主要性质。 （3）掌握LTI连续系统复频域分析法。 （4）掌握复频域的系统函数。 （5）熟悉系统函数零、极点分布的概念。 （6）了解系统稳定性的概念。,4.1 拉普拉斯变换,4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 4.1.3 常用信号的单边拉氏变换,返回首页,4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换,由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利条件时，便存在一对傅里叶变换式：,返回本节,4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域,由上面的讨论可知，连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于f(t)乘以衰减因子 以后是否绝对可积，即：,图4-1 收敛域的划分,图4-2 右边指数衰减信号与其收

2、敛域,图4-3 左边指数增长信号与其收敛域,图4-4 双边信号与其收敛域,返回本节,4.1.3 常用信号的单边拉氏变换,1单位阶跃信号 2单位冲激信号 3指数信号 4正弦信号 5t的正幂信号,1单位阶跃信号,即：,2单位冲激信号,即：,3指数信号,即：,4正弦信号,即：,5t的正幂信号,利用分部积分法，得：,所以：,表4-1 常用信号的拉氏变换,返回本节,4.2 单边拉氏变换的性质,4.2.1 线性 4.2.2 时移（延时）特性 4.2.3 尺度变换 4.2.4 频移特性 4.2.5 时域微分定理 4.2.6 时域积分定理 4.2.7 域微分定理 4.2.8 域积分定理 4.2.9 初值定理 4.2.10 终值定理 4.2.11 卷积定理,返回首页,4.2.1 线性,返回本节,4.2.2 时移（延时）特性,（a） （b） （c）,（d） （e） 图4-5 几种时移情况,返回本节,4.2.3 尺度变换,返回本节,4.2.4 频移特性,返回本节,4.2.5 时域微分定理,（a）三角脉冲 （b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-7 三角脉冲及其导数,返回本节,4.2.6 时

3、域积分定理,返回本节,4.2.7 域微分定理,返回本节,4.2.8 域积分定理,返回本节,4.2.9 初值定理,返回本节,4.2.10 终值定理,返回本节,4.2.11 卷积定理,1时域卷积定理 2复频域卷积定理,1时域卷积定理,2复频域卷积定理,返回本节,4.3 单边拉氏反变换,4.3.1 查表法 4.3.2 部分分式展开法,返回首页,4.3.1 查表法,返回本节,4.3.2 部分分式展开法,返回本节,4.4 连续系统的复频域分析,4.4.1 用拉氏变换法分析系统 4.4.2 用拉氏变换法分析电路,返回首页,4.4.1 用拉氏变换法分析系统,利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个域的代数方程，由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。,例4-18 描述LTI系统的微分方程为：,返回本节,4.4.2 用拉氏变换法分析电路,1电阻元件的域电路模型 2电容元件的域电路模型 3电感元件的域电路模型 4用拉氏变换法分

4、析电路,1电阻元件的域电路模型,电阻元件的时域电路模型如图4-8（a）所示，其时域的伏安关系为：,对上式取拉氏变换，得：,（a）时域电路模型 （b）域电路模型 图4-8 电阻元件时域与域电路模型,2电容元件的域电路模型,（a）时域电路模型 （b）域串联电路模型 （c）域并联电路模型 图4-9 电容元件时域与域电路模型,3电感元件的域电路模型,（a）时域电路模型 （b）域串联电路模型 （c）域并联电路模型 图4-10 电感元件时域与域电路模型,4用拉氏变换法分析电路,有了域电路元件模型，就可以得到一般电路的域模型。根据域的KVL、KCL（在形式上与相量形式的KVL和KCL相同），应用电路分析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的代数方程，并进行求解得到响应的象函数，对所求的响应象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。,（a）时域电路模型 （b）域电路模型 图4-11 例4-20图,图4-12 例4-21图,（a）s域全响应电路模型 （b）s域零输入响应电路模型 （c）s域零状态电路模型 图4-13 s域电路模型,返回本节,4.5 系统函数H

5、(s),4.5.1 系统函数的定义 4.5.2 系统函数的求解方法,返回首页,4.5.1 系统函数的定义,返回本节,4.5.2 系统函数的求解方法,（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-16 例4-23图,返回本节,4.6 系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系,4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图 4.6.2 系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系,返回首页,4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图,LTI连续系统的系统函数h(s)通常是复变量的有理分式，即：,例如某系统的系统函数为： 则该系统函数的零、极点图如图4-17所示。,图4-17 h(s) 的零、极点分布图,返回本节,4.6.2 系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系,1左半平面极点 2虚轴上极点 3右半平面极点,图4-18 h(s) 零、极点分布与时域响应特性的关系,返回本节,4.7 系统的稳定性,4.7.1 稳定系统的定义 4.7.2 系统稳定的条件,返回首页,4.7.1 稳定系统的定义,一个连续系统，如果对于任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统，

6、若输入信号： |x(t)|Mx （4-79） 则输出响应： |y(t)|My （4-80）,返回本节,4.7.2 系统稳定的条件,1时域的稳定条件 2频域的稳定条件,1时域的稳定条件,设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x(t)|Mx，则系统的零状态响应：,或写成：,2频域的稳定条件,（1）稳定系统 （2）不稳定系统 （3）临界稳定系统,（a）时域电路模型 （b）域电路模型 图4-19 例4-24图,图4-20 例4-25图,返回本节,4.8 系统函数与系统频率特性,4.8.1 频率特性 4.8.2 频率特性的矢量作图法,返回首页,4.8.1 频率特性,系统在正弦信号激励的作用下，稳态响应随着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率特性。它包括幅度随频率变化而变化的幅频特性和相位随频率变化而变化的相频特性。,下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频率特性。 设系统函数为h(s)，正弦激励信号为 ，其拉氏变换为：,则系统响应的拉氏变换为：,返回本节,4.8.2 频率特性的矢量作图法,矢量作图法是根据系统函数h(s)在s平面的零、极点分布绘制的频率响应特性曲线，包括幅频特性曲线和相频特性曲线。 设稳定的因果系统，其系统函数为：,根据式（4-87），系统的频率特性为：,图4-21 零点与极点的矢量表示,图4-22 例4-26电路图,图4-23 例4-26电路频率特性分析,（a）幅频特性曲线 （b）相频特性曲线 图4-24 一阶RC高通滤波器的频率特性曲线,返回本节,本章小结,（1）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。 （2）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域特性之间的密切关系。 （3）复频域分析法将时域微分方程的求解变换为s域代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。 （4）系统函数h(s)是系统响应的象函数y(s)与系统激励的象函数x(s)之比。 （5）从系统函数h(s)的零、极点分布可以很方便地确定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的频率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依据。,

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