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北京市海淀区北师特学校高三第四次月考-理科数学

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1、北师特学校第一学期第四次月考理科数学试题一、选择题:本大题共小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的1、已知集合，,则=（ )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】,因此,选D2、已知复数,则的虚部为（ )A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由得,设，则,因此，解得，因此虚部为1，选A、已知一种几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 ( )A B. . D.【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一种圆锥，下部分是个半球，球半径为，圆锥的高为，因此圆锥的体积为,半球的体积为,因此几何体的总体积为，选4、方程的曲线是（ )一种点 B一条直线 C两条直线 D.一种点和一条直线【答案】C【解析】由得,即，为两条直线，选.、已知正项数列中,，,则等于(A） (B)8 (C）（D)4【答案】D【解析】由可知数列是等差数列,且觉得首项，公差,因此数列的通项公式为，因此，即。选.、已知双曲线,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为(A) (B

2、） () (D)【答案】【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，因此，因此点,代入双曲线方程,当时，得,因此由,的,即,因此,解得离心率，选D. 7、外接圆的半径为，圆心为,且，，则等于（A） (B) (C) (D）【答案】【解析】由得,因此，即时的中点,所觉得外接圆的直径，。则，由于,所觉得正三角形，因此,且,因此,选C.、定义在上的函数，则的图像与直线的交点为、且，则下列说法错误的是( ）A、 B、、 D、【答案】D【解析】由，得，解得或，当时。又，因此，因此 ,因此D错误，选二、填空题：本大题共6小题，每题5分,共3分。、已知点在不等式组表达的平面区域内,则点到直线距离的最大值为_.【答案】【解析】由于点可行域内，因此做出可行域,由图象可知当当点位于直线时，即，此时点P到直线的距离最大为。10、在中，若,则【答案】【解析】根据正弦定理可得,即，解得,由于，因此，因此，因此。11、如图，是半径为的圆的直径，点在的延长线上,是圆的切线，点在直径上的射影是的中点,则 ; .【答案】【解析】点A在直径B上的射影E是OC的中点,可得,因此，在中,，因此由切割线定理可得。12、已

3、知若的最大值为8，则k=_【答案】【解析】做出的图象。由于的最大值为8，因此此时,阐明此时直线通过区域内截距做大的点，即直线也通过点。由，解得，即，代入直线得,。13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字9中的一种），去掉一种最高分和一种最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为,则的大小关系是_(填，,）【答案】【解析】去掉一种最高分和一种最低分后，甲乙均有组数据,此时甲乙的平均数为,，因此。14、对任意,函数满足,设,数列的前15项的和为，则【答案】【解析】由于,因此，,即。两边平方得，即，即，即,即数列的任意两项之和为,因此，即。因此，解得或(舍去)。三、解答题：本大题共6小题,共80分。解答应写出文字阐明,演算环节或证明过程。1、(本小题共13分)已知，.（)求的值；（)求函数的值域16、（本小题共13分)如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,点E为的中点。(）求证： () 求证：()在线段B上与否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长;若不存在,请阐明理由。17、（本小题共13分）数列中,且满足（1)求数列的通项公式;(

4、2)设，求18、(本小题共13分)已知函数().（）求函数的单调区间;(）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1,3）上不是单调函数，求的取值范畴。19、（本小题共1分）已知椭圆：，左焦点,且离心率(）求椭圆的方程；()若直线与椭圆交于不同的两点（不是左、右顶点)，且觉得直径的圆通过椭圆C的右顶点A求证：直线过定点,并求出定点的坐标.0、(本小题共14分)在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范畴；()判断数列能否为等比数列？阐明理由;(）设,求证：对任意的,.参照答案:一、选择题:本大题共8小题,每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的12345678DAADDCD二、填空题（每题5分，共30分)9、_;10、_;11、_;12、_;3、_;14、_；三、解答题15、(共1分）解：（）由于，且，因此,.由于 .因此. 6分 (）由()可得. 因此 , 由于,因此，当时,取最大值; 当时，取最小值. 因此函数的值域为 13分16、() ，点E为的中点,连接。的中位线 /分又分（I）正方形中, 由已知可得:, .分, .7分 .8分

5、（)由题意可得：,以点D为原点,A,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则， 9分设 0分设平面的法向量为则得 11分取是平面的一种法向量，而平面的一种法向量为 12分要使二面角的大小为而解得:当=时，二面角的大小为 1分17、解:(1)为常数列，n是觉得首项的等差数列，设，,.(2），令，得.当时，；当时,;当时，.当时,，当时，.18解：(I） 2分当即 (x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(, 4分当，即 f（)的单调递增区间为(,，单调递减区间为(0,)分(I)得 8分+3 分 10分 1分分即： 13分19解:（）由题意可知: 1分解得 2分因此椭圆的方程为: 分（I）证明：由方程组 4分整顿得 .5分设则 .6分由已知，且椭圆的右顶点为 7分 8分即也即 0分整顿得： 1分解得均满足 12分当时，直线的方程为,过定点（2，0)与题意矛盾舍去分当时,直线的方程为,过定点故直线过定点，且定点的坐标为 14分2、(共14分）（）解：由于是单调递增数列,因此，.令,，因此 4分（）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，,.由于单调递增，因此.由于,都成立.因此, 由于,因此,使得当时，.由于因此，当时，,与矛盾,故假设不成立.9分（）证明:观测: ，猜想:.用数学归纳法证明:(）当时,成立;()假设当时,成立；当时，因此根据(1）（)可知，对任意，均有,即.由已知得,.因此.因此当时,. 由于.因此对任意,.对任意，存在,使得,由于数列单调递增，因此,.由于，因此 1分

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